Exercice 2 - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie B

On s'intéresse à l'événement $I$ suivant: « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre $93\,\%$ et $97\,\%$ ».

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'événement $I$ est supérieure ou égale à $0{,}96$.

3. b)

$n \ge$