Exercice 2 - Schéma de Bernoulli et loi binomiale · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie B

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0{,}95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}95$.

1.

Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.

2.

Dans cette question, on pose $n = 150$.

a)

Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(S_{150} = 145)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

b)

Déterminer la probabilité qu'au moins $94\,\%$ des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.