Exercice 4 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

1. a) Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Réponse : $g'(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = f(x)$

1. b) Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1)}{4x\sqrt{x}}$.

Réponse : $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x} - 1)}{4x\sqrt{x}}$

3. b) Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

Réponse : $f$ est strictement décroissante sur $]0 ; 1]$ et strictement croissante sur $[1 ; +\infty[$. Minimum en $x = 1$ valant $f(1) = \frac{\mathrm{e}}{2}$.

5. a) En posant $X = \sqrt{x}$, montrer que $x - 3\sqrt{x} + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Réponse : $x - 3\sqrt{x} + 3 = X^2 - 3X + 3 > 0$ car $\Delta = -3 < 0$

5. b) Justification de l'étude de la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Réponse : $f''(x) > 0$ pour tout $x > 0$, donc $f$ est convexe sur $]0 ; +\infty[$.

5. b) Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Réponse : Convexe