Exercice 2 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 1)

EXERCICE 2 (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise: un test dit de fabrication et un test dit de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

$95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication;

parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité;

$1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

$F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »;

$S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1.

À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.

2.

(a)

Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

(b)

Montrer que $P_{\overline{F}}(\overline{S}) = 0{,}2$.

3.

Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4.

Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0{,}97$ arrondi au centième.

5.

Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième.