Abitur NRW Mathematik 2026 · GK · Teil B · Stochastik (CAS)

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. 75 % der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

1 Aus dem Kundenkreis werden 10 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen, die Treuepunkte sammeln. Es soll davon ausgegangen werden, dass $X$ binomialverteilt ist.

a)

Geben Sie für die Platzhalter $a$, $b$ und $c$ in der folgenden Gleichung jeweils eine reelle Zahl an, sodass eine wahre Aussage über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang entsteht, und beschreiben Sie dieses Ereignis.

$$P(X=a) = \binom{b}{3} \cdot c^3 \cdot 0{,}25^7$$

$a =$

$b =$

$c =$

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 8 der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

%

c)

Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ mit den Parametern $n = 10$ und $p = 0{,}25$. Erläutern Sie, wie man mithilfe von Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass genau 6 der 10 ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. 75 % der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

Von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, sind 80 % weiblich. Der Anteil der weiblichen Personen unter den Personen aus dem Kundenkreis, die keine Treuepunkte sammeln, wird mit $a$ bezeichnet. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

Aus dem Kundenkreis wird eine Person zufällig ausgewählt.

a

Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage wahr ist:

Unter der Annahme, dass $a = 0{,}6$ gilt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person weiblich ist und Treuepunkte sammelt, sechsmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person nicht weiblich ist und keine Treuepunkte sammelt.

b

Der Anteil der nicht weiblichen Personen aus dem Kundenkreis beträgt 30 %. Berechnen Sie den Anteil $a$.

c

Ein Jahr später stellt sich der Sachverhalt wie folgt dar:

Weiterhin sammeln 75 % der Personen aus dem Kundenkreis Treuepunkte.

Weiterhin sind von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, 80 % weiblich.

Der Wert von $a$ ist im Vergleich zum Vorjahr gestiegen.

Beurteilen Sie folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus dem Kundenkreis zufällig ausgewählte nicht weibliche Person Treuepunkte sammelt, ist größer als vor einem Jahr.

Eine Playlist besteht aus einer großen Anzahl von Liedern, von denen 32 % Hip-Hop-Songs sind. Von allen Liedern der Playlist haben 40 % eine Länge von mindestens 4 Minuten. Ein Lied aus der Playlist wird zufällig ausgewählt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$H$: „Das Lied ist ein Hip-Hop-Song.“

$L$: „Das Lied ist mindestens 4 Minuten lang.“

Aus der Playlist werden 20 Lieder zufällig ausgewählt und nacheinander abgespielt. Die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter den ausgewählten Liedern kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Die Längen der ersten fünf Lieder sind in der folgenden Tabelle dargestellt. So hat beispielsweise das erste Lied eine Länge von 4 Minuten und 45 Sekunden.

Nummer · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

Länge · 4:45 · 3:56 · 3:35 · 4:36 · 4:08

a)

Ergänzen Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel.

$H$

$\bar{H}$

Summe

$L$

0,14

$\bar{L}$

Summe

1

b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist.

f)

Die fünf Lieder, deren Längen in der Tabelle dargestellt sind, sollen in veränderter Reihenfolge abgespielt werden, jedes Lied genau einmal. Dabei soll die folgende Regel gelten: Lieder, die eine Länge von weniger als 4 Minuten haben, werden nicht direkt nacheinander abgespielt. Ermitteln Sie die Anzahl der Möglichkeiten, diese fünf Lieder unter Einhaltung der Regel abzuspielen.

Eine Playlist besteht aus einer großen Anzahl von Liedern, von denen 32 % Hip-Hop-Songs sind. Von allen Liedern der Playlist haben 40 % eine Länge von mindestens 4 Minuten. Ein Lied aus der Playlist wird zufällig ausgewählt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$H$: „Das Lied ist ein Hip-Hop-Song.“

$L$: „Das Lied ist mindestens 4 Minuten lang.“

Aus der Playlist werden 20 Lieder zufällig ausgewählt und nacheinander abgespielt. Die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter den ausgewählten Liedern kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Die Längen der ersten fünf Lieder sind in der folgenden Tabelle dargestellt. So hat beispielsweise das erste Lied eine Länge von 4 Minuten und 45 Sekunden.

Nummer · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

Länge · 4:45 · 3:56 · 3:35 · 4:36 · 4:08

Aus der Playlist werden 20 Lieder zufällig ausgewählt und nacheinander abgespielt. Die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter den ausgewählten Liedern kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

c)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 5 dieser Lieder Hip-Hop-Songs sind.

d)

Beschreiben Sie die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang:

$$\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$$

e)

Die ersten sechs Lieder haben eine durchschnittliche Länge von 4 Minuten und 5 Sekunden. Bestimmen Sie die Länge des sechsten Liedes.