Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analytische Geometrie 2025

Thema: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Aus der Prüfung LK · Teil A · Analytische Geometrie (2025)

Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl kk wird die Gerade gk:x⃗=(5−6k3k4−9k)+r⋅(2−13)g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 - 6k \\ 3k \\ 4 - 9k \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} mit r∈Rr \in \mathbb{R} betrachtet.

Gegeben ist die Schar der Ebenen Ek:kx+(2−k)⋅y=kE_k: kx + (2-k)\cdot y = k mit k∈Rk \in \mathbb{R}.

a)

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Geben Sie diese an. [1 BE]

b)

Zeigen Sie, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind. [4 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analytische Geometrie 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen. Geben Sie diese an.

Lösung: xy-Ebene

b Zeigen Sie, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind.

Lösung: Aus (a2−a0)=r⋅(b2−b0)\begin{pmatrix} a \\ 2-a \\ 0 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} b \\ 2-b \\ 0 \end{pmatrix} ergibt sich a=rb∧2−a=2r−rb⇒2−a=2r−a⇒r=1a = rb \wedge 2-a = 2r - rb \Rightarrow 2-a = 2r - a \Rightarrow r=1. Dies ist wegen a≠ba \neq b nicht möglich.

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