Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2023 · Setembre Serie 2

Siguin $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ i la matriu identitat d'ordre dos $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

Comproveu que $(A - 2I)^2 = 3I$. [0,5 punts]

b)

Utilitzant la igualtat de l'apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu $A$ en funció de les matrius $A$ i $I$, i comproveu que coincideix amb la matriu $B$. [1,25 punts]

c)

Calculeu la matriu $X$ que satisfà la igualtat $A \cdot X = B$. [0,75 punts]

2. Sigui la funció $f(x) = \dfrac{1}{x}$.

a)

Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

[0,75 punts]

b)

Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x = k$, en què $k$ és un nombre real positiu.

[0,75 punts]

c)

Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l'apartat b determina un triangle d'àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea.

[1 punt]

3. Sigui el sistema d'equacions lineals

$\begin{cases}

2x + y = 1 + z \\

my + z = 2 - x \\

mz + 3 = 3x + y

\end{cases}$

en què $m$ és un nombre real.

a)

Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre $m$. [1,25 punts]

b)

Resoleu el sistema, si té solució, per al cas $m = 1$. [1,25 punts]

Sigui la funció $f(x)$ definida per $f(x) = -3x + \mathrm{e}^{2x^3 - 1}$.

a)

Justifiqueu que $f(x) = 2$ té una solució en l'interval $(-1, 0)$. [1,25 punts]

Sigui la funció $f(x)$ definida per $f(x) = -3x + \mathrm{e}^{2x^3 - 1}$.

b)

Sigui la funció $h(x) = -3x^2 + e^{2x^3-1}$. Calculeu l'àrea de la regió compresa entre les gràfiques de les funcions $f(x)$ i $h(x)$. [1,25 punts]

$x_1 =$

$x_2 =$

$A =$

$\text{u}^2$

5. Siguin $r_1$ i $r_2$ les rectes definides per $r_1: x - 1 = y = -z$ i per $r_2: x = y = z$, respectivament.

a)

Calculeu l'equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes $r_1$ i $r_2$. [1,75 punts]

b)

Calculeu la distància entre $r_1$ i $r_2$. [0,75 punts]

Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan $10\text{ mm}$, tal com podeu observar en la figura següent:

a)

Expresseu l'altura del trapezi en funció de la longitud $x$ de la base inferior. [0,5 punts]

mm

b)

Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l'àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d'aquesta àrea màxima. [2 punts]

mm

mm²