Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2026 · Setembre Serie 2

Exercici 1 [2,5 punts en total]

Considereu la funció $$f(x)=\frac{5x}{x^2+1}$$.

1.1.

Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims locals. [1 punt]

1.2.

Calculeu les equacions de totes les asímptotes d'aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica. [0,75 punts]

1.3.

Calculeu l'equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba $y=f(x)$ en el punt d'abscissa $x=2$. [0,75 punts]

Considereu el sistema d'equacions següent:$$\left\{\begin{aligned} 2x + ky + z &= 3 \\ -x + 2y + 2z &= 1 \\ x + y + z &= 2 \end{aligned}\right.$$on $k$ és un paràmetre real.

2.1.

Discutiu el sistema en funció del paràmetre $k$. [1 punt]

2.2.

Resoleu el sistema per a tots els valors de $k$ i comproveu que, per a $k \neq 1$, la solució no depèn de $k$. [1 punt]

2.3.

Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors. [0,5 punts]

Es vol construir un parc eòlic al Solsonès format per 10 aerogeneradors. L’empresa que els construirà està dissenyant les pales segons l’esquema següent, on $x$ i $f(x)$ estan mesurats en metres (el dibuix no està a escala):

S’ha calculat que cadascun dels 10 aerogeneradors tindrà una potència de 100 MW. Degut a diversos factors, cadascun té una probabilitat del 10 % d’estar aturat, independentment de la resta d’aerogeneradors.

3.1.

Quina és la probabilitat que s’arribi als 1 000 MW de potència total al parc? [0,75 punts]

3.2.

Quina és la probabilitat que la potència total del parc superi els 150 MW? [0,75 punts]

3.3.

Calculeu l’àrea de les pales d’un d’aquests aerogeneradors (part ombrejada al gràfic). [1 punt]

OPCIÓ A

L'Aina construirà la capsa a partir d'un cartró rectangular de $80\text{ cm} \times 50\text{ cm}$. A la figura següent es mostra el desplegament de la capsa; les zones ratllades són les parts que l'Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar:

4.1.

Comproveu que el volum de la capsa resultant és $V(x) = 2x^3 - 130x^2 + 2\,000x$, on $x$ és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar. [1 punt]

4.2.

Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim? [1,5 punts]

cm

cm

cm

cm

Exercici 4 - OPCIÓ B

L'Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex $A(1, 1, 1)$ fins al vèrtex $B(4, 1, 5)$, i l'altre costat de la tapa des del vèrtex $A$ fins al vèrtex $C(1, 10, 1)$.

4.1.

Quines són les coordenades del quart vèrtex de la tapa? Calculeu les longituds dels dos costats de la tapa. [1 punt]

4.2.

Sabent que els altres quatre vèrtexs de la capsa estan situats al pla $\pi: -4x + 3z = 24$, calculeu les coordenades d'un d'aquests vèrtexs (qualsevol) i l'alçària de la capsa. [1,5 punts]