Examen de Matemáticas II Selectividad Cataluña 2023 · Juny Serie 1

1. Calculeu els coeficients $a$, $b$, $c$ i $d$ de la funció $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'inflexió $(1, 0)$ és $y = -3x + 3$ i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa $x = 0$. [2,5 punts]

Considereu les dues matrius següents:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Calculeu les matrius $A \cdot B$ i $B \cdot A$. [1,5 punts]

b)

Siguin $C$ i $D$ dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan $C \cdot D = C$ i $D \cdot C = D$. Comproveu que les dues matrius, $C$ i $D$, són idempotents. [1 punt]

NOTA: Una matriu quadrada s'anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat.

Sigui $$f'(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{1}{x - 1}, & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ la funció derivada d'una funció derivable $f(x)$ que passa pel punt $A = (0, 3)$.

a)

Calculeu la funció $f(x)$. [1,5 punts]

$f(x) =$

$f(x) =$

Sigui $$f'(x) = \begin{cases} x - 1, & \text{si } x \le 2 \\ \dfrac{1}{x - 1}, & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ la funció derivada d'una funció derivable $f(x)$ que passa pel punt $A = (0, 3)$.

b)

Calculeu l'equació de la recta tangent a la funció $f'(x)$ en el punt d'abscissa $x = 3$.

[1 punt]

4. Sigui el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real $\lambda$:

$$\begin{cases} x + 2\lambda y + (2+\lambda)z = 0 \\ (2+\lambda)x + y + 2\lambda z = 3 \\ 2\lambda x + (2+\lambda)y + z = -3 \end{cases}$$

a)

Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $\lambda$. [1,25 punts]

$\lambda =$

b)

Per al cas $\lambda = -1$, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució. [1,25 punts]

$x =$ $y =$

5. La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de $8\text{ m}^2$ per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura següent, per estalviar-se així un dels quatre costats.

El preu de la tanca que vol fer servir és de $2{,}5\text{ €/m}$.

a)

Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim? [1,75 punts]

b)

Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vostra proposta. [0,75 punts]

6. Siguin els plans $\pi_1$ i $\pi_2$, determinats respectivament per les equacions $\pi_1: x + y = 3$ i $\pi_2: x - z = -2$.

a)

Trobeu l'equació general ($Ax + By + Cz + D = 0$) del pla $\pi_3$, que és perpendicular a $\pi_1$ i $\pi_2$, i que passa pel punt $P = (4, 1, 2)$. [0,75 punts]

b)

Sigui $r$ la recta d'intersecció de $\pi_1$ i $\pi_2$. Calculeu l'equació vectorial de la recta $r$. [0,75 punts]

(x, y, z) = (,,) + λ · (,,)

c)

Calculeu el punt $Q$ de la recta $r$ que és més a prop del punt $P$. [1 punt]

Q = (,,)