Ejercicio P1 · Matemáticas II PAU Navarra Extraordinaria 2023

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que sea compatible. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Solución: Discusión (Teorema de Rouché-Fröbenius): - Si $a \notin \{0, 3, -\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$, Sistema Compatible Determinado con solución única: $$x = \frac{a - \sqrt{3} - 1}{a(a-3)}, \quad y = \frac{2(a+\sqrt{3})}{a-3}, \quad z = \frac{1}{a - \sqrt{3}}$$ - Si $a = \sqrt{3}$, Sistema Compatible Indeterminado con infinitas soluciones: $$x = \frac{1-\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}-6}{3}t, \quad y = 2t, \quad z = t, \quad t \in \mathbb{R}$$ - Si $a = -\sqrt{3}$, $a = 0$ o $a = 3$, Sistema Incompatible.