Examen de Matemáticas II PAU Murcia 2025 · Ordinaria

1A) Daniel quiere contratar a los músicos Darío, Hugo y José. El sueldo de Darío es el de Hugo multiplicado por un parámetro $m > 0$. El sueldo de Hugo es el doble del de José. La suma del sueldo de José multiplicado por $m$ más el sueldo de Darío (sin multiplicar por $m$) más el sueldo de Hugo (sin multiplicar por $m$) es $600\ \text{€}$.

a)

[0,75] Denotando por $x$ el sueldo de Darío, por $y$ el sueldo de Hugo y por $z$ el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.

b)

[0,25] Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de $m$).

c)

[1,5] Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de $m$), y lo que cobra cada uno para $m = 2$.

Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\quad\text{y}\quad C = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

[1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.

b)

[1,25] Resuelva la ecuación $A^t X B = C$, donde $A^t$ es la transpuesta de $A$.

Considere un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ cuya hipotenusa mide $7\sqrt{2}$ cm.

a)

[0,5] Demuestre que su área viene dada por la expresión

$$f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{98 - x^2}$$

b)

[2] Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?

$x =$

cm,

$y =$

cm

$f_{\max} =$

cm²

Considere la función $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$.

a)

[1,5] Calcule la integral indefinida $\int f(x)dx$.

b)

[1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ entre los valores $x = 1$ y $x = 2$ es $\ln\left(\frac{27}{16}\right)$.

CUESTIÓN 3 (a elegir entre 3A y 3B):

3A) Considere las rectas

$$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{y} \quad s: \begin{cases} x = 7 + 3\mu \\ y = -5 + \mu \\ z = 7 \end{cases}$$

a)

[0,5] Compruebe que se cruzan justificando el rango o determinante correspondiente:

b)

[1,5] Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.

c)

[0,5] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.

3B) Considere los planos $\pi_1: x - y + z = 0$ y $\pi_2: x + y - z = 2$

a)

[1] Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan $\pi_1$ y $\pi_2$.

$x =$

$y =$

$z =$

b)

[0,75] Halle la ecuación de la recta que pasa por $P(1,2,3)$ y no corta ni a $\pi_1$ ni a $\pi_2$.

$x =$

$y =$

$z =$

c)

[0,75] Calcule la proyección ortogonal de $P$ en $\pi_1$.

$P' = ($

,

,

$)$

CUESTIÓN 4 (a elegir entre 4A y 4B)

4A) Considere dos urnas, $U_1$ y $U_2$, tales que en $U_1$ hay 2 bolas rojas y 3 verdes, y en $U_2$ hay 6 bolas rojas y 3 verdes. El experimento aleatorio consiste en sacar una bola de $U_1$, depositarla en $U_2$ y, a continuación, sacar una bola de $U_2$. Calcule la probabilidad de que:

a)

[0,5] Salga una bola roja en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.

b)

[0,5] Salga una bola verde en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.

c)

[0,75] Salga una bola verde en $U_2$.

d)

[0,75] Haya salido roja en $U_1$ sabiendo que ha salido roja en $U_2$.

El $2\,\%$ de las piezas fabricadas por una máquina son defectuosas.

a)

[1] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de $10$ piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente $1$ pieza defectuosa.

b)

[1,5] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de $2000$ piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de $50$ piezas defectuosas.