Cuestión 2B · Matemáticas II PAU Murcia Extraordinaria 2025

a) Calcule la integral indefinida \int f(x)dx.

Solución: $\frac{1}{2}\operatorname{tg}^2(x) - \frac{1}{2}\ln(1+\operatorname{tg}^2(x)) + C$ / $\frac{1}{2}\operatorname{tg}^2(x) + \ln|\cos(x)| + C$

b) Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x) y el eje OX entre los valores x = 0 y x = pi/4.

Solución: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln(2)$

c) Demuestre, sin aproximar con números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a 1/2 ln(e/2).

Solución: $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{e}{2}\right) = \frac{1}{2}(\ln(e) - \ln(2)) = \frac{1}{2}(1 - \ln(2)) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln(2)$