Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid 2022 · Modelo

Se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$.

a)

Determine los valores del parámetro real $a$ para los cuales la matriz $A$ es invertible.

b)

Calcule, para $a = 0$, la matriz inversa $A^{-1}$.

Sea $S$ la región del plano definida por:

$$x + y \ge 3, \quad 2x + y \le 8, \quad x + 2y \le 10, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0$$

a)

Represente gráficamente la región $S$ y calcule las coordenadas de sus vértices.

Vértice 1:

Vértice 2:

Vértice 3:

Vértice 4:

Vértice 5:

b)

Obtenga el valor máximo de la función $f(x, y) = 2x + 3y$ en $S$, indicando el punto de la región en el cual se alcanza el máximo y el valor máximo alcanzado.

Se considera la función real de variable real $f(x) = \sqrt{1 + x^2}$.

a)

Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

b)

Calcule $$\int_0^1 2x f(x)\, dx$$

Una empresa de reparto de comida a domicilio reparte platos de dos restaurantes. El $60\,\%$ de los platos que reparte proceden del primer restaurante y el $40\,\%$ restante del segundo. El $50\,\%$ de los platos que reparte del primer restaurante están cocinados con productos ecológicos, siendo este porcentaje de un $80\,\%$ para el segundo restaurante. Elegido un plato al azar:

a)

Calcule la probabilidad de que esté cocinado con productos ecológicos.

b)

Si el plato seleccionado no está cocinado con productos ecológicos, obtenga la probabilidad de que proceda del segundo restaurante.

El tiempo diario de juego con videoconsolas de un estudiante de secundaria sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $0'25$ horas.

a)

Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño $25$. Calcule la probabilidad de que la media muestral $\overline{X}$ no supere las $2'9$ horas si $\mu = 2'75$ horas.

b)

Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de $64$ personas se ha obtenido un intervalo de confianza $(2'9388, 3'0613)$ para $\mu$, determine el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.

%

B. 1. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x - y + z &=& 2 \\ x - y + az &=& -1 \\ 2x + y + z &=& 6 \end{array}\right.$$

a)

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro real $a$.

b)

Resuelva el sistema para $a = -2$.

B. 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por$$f(x) = \frac{10}{x^2 + 2x - 3}$$

a)

Determine el dominio de $f(x)$ y calcule sus asíntotas.

b)

Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y determine los extremos relativos indicando si corresponden a máximos o mínimos.

B. 3. (Calificación máxima: 2 puntos)

Considere la función real de variable real definida por:

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} ax^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \ln(x - 1) & \text{si } x > 2 \end{array}\right.$$

a)

Determine para qué valores de $a \in \mathbb{R}$ la función $f(x)$ es continua en su dominio.

b)

Para $a = 1$, halle el área de la región acotada delimitada por la función $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = -1$, $x = 0$.

B. 4. (Calificación máxima: 2 puntos)

Entre los deportistas profesionales, el $50\,\%$ disfrutan de una beca de alto rendimiento y el $30\,\%$ está cursando estudios superiores. Se sabe también que el $10\,\%$ de los deportistas profesionales disfrutan de una beca de alto rendimiento y además están cursando estudios superiores. Seleccionado un deportista profesional al azar, calcule la probabilidad de que:

a)

Disfrute de una beca de alto rendimiento o esté cursando estudios superiores.

b)

No disfrute de una beca de alto rendimiento, sabiendo que no está cursando estudios superiores.

Una empresa que gestiona una aplicación de movilidad sostenible sabe que el tiempo que tardan en llegar a la universidad en coche los estudiantes se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media $\mu$ minutos y desviación típica $\sigma = 6$ minutos.

a)

Una muestra aleatoria simple de 81 universitarios proporciona un tiempo medio de traslado hasta la universidad de 44 minutos. Calcule el intervalo de confianza al $90\,\%$ para estimar $\mu$.

b)

Determine el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para obtener un intervalo de confianza para $\mu$ de amplitud a lo sumo de 3 minutos, con un nivel de confianza del $95\,\%$.