Ejercicio 4.1 (a, b) - Funciones en contexto · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Extraordinaria 2026

Tema: Funciones en contexto: extremos absolutos y optimización · Del examen Extraordinaria (2026)

Enunciado

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función:

C(x)=axx2+4,x>0,(a: nuˊmero real)C(x) = \frac{a x}{x^2 + 4}, \quad x > 0, \quad (a\text{: número real})

siendo «xx» el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración.

a)

[0,75 PUNTOS] Calcula el valor de "a" sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l. Calcula lim⁡x→+∞C(x)\lim_{x \to +\infty} C(x) e interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y C(x).

b)

[1,25 PUNTOS] Para a=1a = 1: Calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.

Máximo relativo

Mínimo relativo

No posee

Enunciado: Ejercicio 4.1 (a, b) - Funciones en contexto · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU La Rioja Extraordinaria 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Calcula el valor de "a" sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l.

Solución: 1

Calcula lim⁡x→+∞C(x)\lim_{x \to +\infty} C(x)

Solución: 0

Interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y C(x).

Solución: A medida que pasa mucho tiempo, la concentración de la sustancia en sangre tiende a desaparecer o hacerse cero.

Cálculo de la derivada primera de la función para a = 1

Solución: 4−x2(x2+4)2\frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}

Intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta

Solución: (0,2)(0, 2)

Intervalos de tiempo en los que la concentración disminuye

Solución: (2,+∞)(2, +\infty)

Punto donde se alcanza el extremo relativo

Solución: 2

Razonamiento / justificación:

Solución: En x = 2 la derivada pasa de ser positiva a negativa (o C''(2) < 0), por lo que la concentración pasa de crecer a decrecer, alcanzando un máximo relativo.

Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo.

Solución: Máximo relativo

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