Examen de Matemáticas II PAU Galicia 2021 · Extraordinaria

1. Números y Álgebra:

Despeje $X$ en la ecuación matricial $B(X - I) = A$, donde $I$ es la matriz identidad y $A$ y $B$ son matrices cuadradas, con $B$ invertible. Luego, calcule $X$ si

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}.$$

a)

$X =$

b)

$X = ($$

$)$

2. Números y Álgebra:

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema:$$\begin{cases} mx + & y + & z = & 2m, \\ mx + & (m+1)y + & z = & 1, \\ mx + & (m+1)y + & 2z = & m+1. \end{cases}$$

3. Análisis:

a)

Enuncie el teorema de Bolzano.

3. Análisis:

b)

Obtenga los valores de $a$, $b$ y $c$ que hacen que $f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x + c$ cumpla $f(0) = 1$ y tenga extremos relativos en $x = \pm 1$. Decir luego si los extremos son máximos o mínimos.

4. Análisis:

a)

Enuncie el teorema de Rolle.

4. Análisis:

4.b) Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de $f(x) = x + 6$ y $g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0, \\ x^2 & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$

5. Geometría:

a)

Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ con ecuaciones paramétricas $\pi: \begin{cases} x = 1 - \lambda, \\ y = 2 + \mu, \\ z = 1 + \lambda + 2\mu, \end{cases} \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$.

b)

Calcule el valor de $m$ para que los siguientes puntos sean coplanarios: $A(0, m, 0)$, $B(0, 2, 2)$, $C(1, 4, 3)$ y $D(2, 0, 2)$. Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que los contiene.

6. Geometría:

Calcule el punto simétrico de $P(1,1,2)$ con respecto al plano $\pi: 2x - y + z + 3 = 0$.

P'(,,)

7. Estadística y Probabilidad:

En una determinada ciudad, el 8% de la población practica yoga, el 20% tiene mascota y el 3% practica yoga y tiene mascota. Si en esa ciudad se elige una persona al azar, calcule:

a)

La probabilidad de que no practique yoga y a la vez tenga mascota.

b)

La probabilidad de que tenga mascota sabiendo que practica yoga.

8. Estadística y Probabilidad:

El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fábrica sigue una distribución normal de media $8\text{ mm}$ y desviación típica $0.5\text{ mm}$. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre $7.6\text{ mm}$ y $8.2\text{ mm}$.