Problema 1 · Matemáticas II PAU Galicia Ordinaria 2021

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Ordinaria (2021)

Enunciado

Sea A=(aij)A = (a_{ij}) la matriz de dimensión 3×33 \times 3 definida por aij={1si i=2,(−1)j(i−1)si i≠2.a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i - 1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases}

Explique si AA y A+IA + I son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan.

(Nota: aija_{ij} es el elemento de AA que está en la fila ii y en la columna jj, e II es la matriz identidad.)

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II PAU Galicia Ordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

¿Es AA invertible?

Solución: No

¿Es A+IA + I invertible?

Solución: Sí

Valor de det⁡(A+I)\det(A + I)

Solución: -4

Elemento (1,1)(1,1) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 1

Elemento (1,2)(1,2) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 0

Elemento (1,3)(1,3) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 0

Elemento (2,1)(2,1) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 1/4 / 0.25

Elemento (2,2)(2,2) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 1/4 / 0.25

Elemento (2,3)(2,3) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 1/4 / 0.25

Elemento (3,1)(3,1) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: -3/2 / -1.5

Elemento (3,2)(3,2) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: 1/2 / 0.5

Elemento (3,3)(3,3) de (A+I)−1(A + I)^{-1}

Solución: -1/2 / -0.5

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