Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla y León 2021 · Ordinaria

P1. (Números y álgebra)

En un almacén de frutas disponen de 800 kg de manzanas, 800 kg de naranjas y 500 kg de plátanos. Con estas existencias van a poner a la venta dos tipos de lotes de frutas, A y B. El lote A consta de 1 kg de manzanas, 2 kg de naranjas y 1 kg de plátanos; mientras que el lote B consta de 2 kg de manzanas, 1 kg de naranjas y 1 kg de plátanos. Si los lotes A se venden a 12 euros cada uno y los lotes B a 14 euros cada uno, determinar, mediante técnicas de programación lineal, el número de lotes de cada tipo que ha de vender el almacén para maximizar sus ingresos. ¿A cuánto asciende ese ingreso máximo?

€

P2. (Números y álgebra)

Dadas las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$

a)

Calcular la matriz $Y = A^2 + BB'$ donde $B'$ es la matriz traspuesta de $B$.

$$\left(\right.$$

$$\left.\right)$$

b)

Determinar la matriz $X$ para que se verifique la ecuación $2AX = B$.

$$\left(\right.$$

$$\left(\right.$$

P3. (Análisis)

El número de zancadas por minuto que realiza un corredor en su entrenamiento diario de 60 minutos viene dado por la función:

$$f(x) = \begin{cases} 70 & \text{si } 0 \le x \le 40 \\ \frac{1}{10}x^2 - 11x + 350 & \text{si } 40 < x \le 60 \end{cases}$$

donde $x$ representa el tiempo de entrenamiento transcurrido, medido en minutos.

a)

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y calcular el momento en el que alcanza el número de zancadas mínimo. ¿Cuál es el número de zancadas mínimo? (hasta 2 puntos)

min

b)

Representar gráficamente la función $f(x)$, justificando brevemente la representación gráfica obtenida (hasta 1 punto).

El beneficio neto anual $B$ (en miles de euros) que las ventas de un producto generan a una empresa en función del gasto anual en publicidad $x$ (en miles de euros) viene dado por la función $B(x) = -20x^2 + 1200x + a$, donde $x \in [0, \infty)$.

a)

Hallar el valor de $a$ sabiendo que un gasto en publicidad de $10\,000$ euros proporciona un beneficio neto de $10$ millones de euros.

El beneficio neto anual $B$ (en miles de euros) que las ventas de un producto generan a una empresa en función del gasto anual en publicidad $x$ (en miles de euros) viene dado por la función $B(x) = -20x^2 + 1200x + a$, donde $x \in [0, \infty)$.

b)

Para $a = 2000$, calcular el área delimitada por $B(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[0, 1]$.

Una empresa destinada a la comercialización de cápsulas de café realiza un estudio de mercado entre un grupo de personas donde el $60\,\%$ son hombres y el $40\,\%$ restante son mujeres. La empresa comprueba que el $55\,\%$ de los hombres prefieren cápsulas de café capuchino, porcentaje que se eleva al $80\,\%$ en el caso de las mujeres.

a)

Calcular la probabilidad de elegir una persona de ese grupo que resulte ser hombre y que prefiera cápsulas de café capuchino.

b)

¿Con qué probabilidad una persona elegida al azar de ese grupo prefiere cápsulas de café capuchino?

P6. (Estadística y probabilidad)

El tiempo que tarda un auditor en revisar un expediente se ajusta a una distribución normal con media 30 minutos y desviación típica de 10 minutos. Si al principio de una semana se le entregan 75 expedientes:

a)

Calcular la probabilidad de que le dé tiempo a revisar los 75 expedientes si en esa semana el auditor trabaja 35 horas (2100 minutos).

b)

Calcular la probabilidad de que el tiempo medio dedicado a revisar los 75 expedientes esté entre 28 y 33 minutos.

Tabla de la Distribución Normal $N(0, 1)$

Añadir una ecuación al sistema

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$$

de forma que el sistema resultante sea incompatible.

C2. (Análisis)

¿Cuál es el dominio de definición de la función $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 4}$?

$x_1 =$

$x_2 =$

Cuestión C3. (Estadística y probabilidad)

Sabiendo que la probabilidad de que un hombre llegue a los 70 años es $0{,}78$ y la probabilidad de que una mujer llegue a los 70 años es $0{,}83$, calcular razonadamente la probabilidad de que ambos lleguen a los 70 años.