Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla y León 2024 · Ordinaria

En una concentración deportiva, el médico indica que cada deportista debe tomar entre un mínimo de 110 mg y un máximo de 250 mg de vitamina C al día, y también entre 80 y 150 mg de magnesio. Los deportistas toman comprimidos de VITAMIN que contienen, cada uno, 40 mg de vitamina C y 10 mg de magnesio. Asimismo, ingieren comprimidos MAGNE con 10 mg de vitamina C y 20 mg de magnesio cada uno. Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de comprimidos de cada tipo que son necesarios si se desea tomar el menor número posible de comprimidos e ingerir la dosis necesaria de vitamina C y de magnesio.

a)

b)

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} x - 3y + 5z = 0 \\ ky + (5 - k)z = -10 \\ x - 3y + kz = 10 \end{cases}$$ a)

Clasificar el sistema según su número de soluciones para los distintos valores de $k$.

b)

Resolver el sistema para $k = 1$.

Sea la función:$$f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2 & \text{si } x \le 1 \\ a + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a) Determinar el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.

a)

Sea la función:$$f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2 & \text{si } x \le 1 \\ a + \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

b) Para $a = 1$, estudiar los puntos de corte con los ejes, monotonía y extremos relativos.

Puntos de corte con los ejes

$y =$

$x_1 =$

$x_2 =$

Monotonía

Extremos relativos

en $x =$

P4. La temperatura (en grados centígrados) del agua del mar Mediterráneo ha cambiado con el tiempo según la función $T(x)$, donde $x$ representa los años transcurridos desde el inicio de 2010:

$$T(x) = \begin{cases} 22 + 5.5x - 1.5x^2 & \text{si } 0 \le x < 3 \\[6pt] \dfrac{52x^2 + 3x + 23}{2x^2 + 2} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

a)

Estudiar si la temperatura del agua ha cambiado de forma continua a lo largo de los años.

b)

Hallar la temperatura del agua al inicio del año 2014 y razonar cuál se prevé que será la temperatura del agua dentro de muchos años.

El número de viajes realizados anualmente por habitantes de Castilla y León a comunidades limítrofes sigue una distribución normal cuya desviación típica es $\sigma = 10$. Si seleccionamos una muestra de 625 viajeros, la media de viajes realizados por los mismos es de 16.

a)

¿Cuál es el intervalo de confianza para la media de viajes anuales en toda la población para un nivel de significación del 4 %?

[CONTEXTO:]

b)

¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 90 %?

Para resolver puedes usar la tabla de la distribución normal:

P6. En un instituto, 44 de cada 100 chicas y 5 de cada 10 chicos de segundo curso de Bachillerato están matriculados en la asignatura Empresa y diseño de modelos de negocio. Hay 150 chicas y 75 chicos en segundo curso de Bachillerato.

a)

Si se elige un estudiante al azar de segundo curso de Bachillerato, hallar la probabilidad de que no esté matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio. [1,5 puntos]

b)

Sabiendo que el estudiante elegido está matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? [1,5 puntos]

C1. Despejar la incógnita $X$ en la ecuación matricial:

$$C(A + X) = B - 2X$$

C2. Calcular el área encerrada bajo la curva $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ y el eje OX en el intervalo $[-2, -1]$.

Cuestiones (a elegir una)

C3.

Se lanza tres veces una moneda no trucada. Calcular la probabilidad de que salgan al menos dos caras seguidas.