Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla y León 2021 · Extraordinaria

P1. (Números y álgebra)

En una panadería hornean todos los días tartas y bizcochos que venden a $10$ € y $6$ €, respectivamente. Para fabricar una tarta se necesitan $400$ gramos de harina y $200$ de azúcar, mientras que para un bizcocho se utilizan $300$ gramos de harina y $100$ de azúcar. Los dueños de la panadería saben que diariamente tienen que hornear, al menos, $6$ bizcochos. Para la producción de hoy de tartas y bizcochos se dispone de $6$ kg de harina y $2.4$ kg de azúcar.

Utilizando técnicas de programación lineal, determinar la cantidad de cada uno de los productos que hay que hornear hoy para obtener los máximos ingresos.

P2. (Números y álgebra)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, en función del parámetro $a$:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ x + y - az = 1 \\ x + 2y - 2z = -2 \end{cases}$$

a)

Clasificar el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$.

b)

Resolver el sistema para $a = 1$.

P3. (Análisis) - Apartado a

Se considera la función:$$f(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{b}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

Determinar el valor de $b$ para que $f(x)$ sea continua.

P3. (Análisis) - Apartado b

Se considera la función:$$f(x) = \begin{cases} 4 - x^2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{b}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

b)

Calcular el área delimitada por $f(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $(0, 1)$.

Los estatutos de una asociación ecologista establecen que la asociación debe disolverse cuando supere los 100 socios. Se sabe, además, que el número de sus socios varía con los años transcurridos desde su fundación, «$x$», de acuerdo con la función $N(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 64$.

a)

¿Cuántos han sido los socios fundadores? Transcurridos 7 años, ¿cuántos socios habrá? ¿Se disolverá la sociedad en ese momento? (hasta 1 punto)

Sí

No

Los estatutos de una asociación ecologista establecen que la asociación debe disolverse cuando supere los 100 socios. Se sabe, además, que el número de sus socios varía con los años transcurridos desde su fundación, «$x$», de acuerdo con la función $N(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 64$.

b)

Estudiar el comportamiento (crecimiento, decrecimiento) del número de socios en el intervalo $[0, 7]$ ¿cuál será el número mínimo de socios y cuándo se alcanzará? (hasta 2 puntos)

En un gimnasio, el 52 % de los socios son hombres y el resto son mujeres. Entre los socios, el 35 % de los hombres practica "spinning" así como el 60 % de las mujeres. Si elegimos un socio al azar,

a)

Calcular la probabilidad de que practique "spinning".

b)

Si el socio elegido no practica "spinning", obtener la probabilidad de que sea una mujer.

El peso de la población adulta con sobrepeso sigue una distribución normal de media $120\text{ kg}$ y desviación típica de $20\text{ kg}$. Además, a los individuos con un peso superior a $150\text{ kg}$ se les considera “individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A”.

a)

¿Qué porcentaje de la población de adultos con sobrepeso son "individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A"?

%

El peso de la población adulta con sobrepeso sigue una distribución normal de media $120\text{ kg}$ y desviación típica de $20\text{ kg}$. Además, a los individuos con un peso superior a $150\text{ kg}$ se les considera “individuos con riesgo de desarrollar la enfermedad coronaria A”.

b)

Si se elige aleatoriamente una muestra de 20 adultos con sobrepeso, calcular la probabilidad de que la media del peso de la muestra esté entre 110 kg y 125 kg.

Un hijo tiene 22 años menos que su padre y la suma de sus edades es 46 años ¿qué edad tiene el hijo?

años

Cuestiones (a elegir una)

C2. (Análisis) Dada la función $f(x) = ax - 33 + \dfrac{5}{x}$, determinar $a$ para que verifique $f'(1) = 2$.

La nota media de los alumnos de segundo de bachillerato de cierto instituto sigue una distribución normal de media 6.8 y desviación típica 1.1. Calcular la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de un 9.