Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2026 · Extraordinaria

1A) Considera las matrices presentadas a continuación,

$$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 3 \\ 1 & 4 & -a \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

donde el parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[1 punto] Halla los valores del parámetro $a$ para los que $A$ tiene inversa.

$a_1 =$

\quad y \quad $a_2 =$

b)

[1,5 puntos] Considera $a = 0$, calcula la matriz $X$ que cumple:

$$AXB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

1B) Considera el siguiente sistema de ecuaciones:$$\begin{cases} a^3 x + y + az = 1 \\ ax + a^2 y = a \end{cases}$$dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[1,5 puntos] Discute el sistema en función de los valores de $a$.

b)

[0,5 puntos] Considera $a = 0$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

c)

[0,5 puntos] Considera $a = 2$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

Considera la siguiente función real:

$$f(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{x}}$$

2A) Considera la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 3x + a^2 & \text{si } x < 1 \\[6pt] \dfrac{\ln x}{x} + 4a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

donde $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[0,75 puntos] Calcula los valores de $a$ para los cuales $f(x)$ es continua en todo su dominio.

b)

[0,75 puntos] Calcula las asíntotas de $f(x)$, en función de $a$.

c)

[1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

Considera la siguiente función real:

$$f(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{x}}$$

a)

[0,5 puntos] Determina el dominio de definición de $f(x)$.

c)

[0,75 puntos] Calcula el valor de $x$ para el cual $f(x)$ alcanza el valor máximo en $(1, \infty)$.

Considera la siguiente función real:

$$f(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{x}}$$

b)

[1,25 puntos] Calcula una primitiva de $f(x)$, que se haga nula en $x = 0$.

Considera los puntos $A = (0, 5, -1)$ y $B = (-3, 11, -10)$, y la recta

$$r: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{3}$$

a)

[0,5 puntos] Estudia la posición relativa de $r$ y la recta que contiene a $A$ y $B$.

c)

[1 punto] Halla la ecuación general o implícita del plano que contiene a $r$ y $A$.

Considera los puntos $A = (0, 5, -1)$ y $B = (-3, 11, -10)$, y la recta

$$r: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{3}$$

b)

[1 punto] Calcula el área del triángulo formado por los vértices $A$, $B$ y un punto genérico de $r$.

u²

Tenemos 3 cajas (caja A, caja B y caja C) y bolas rojas o blancas. La caja A contiene 10 bolas, de las cuales 4 son blancas. La caja B contiene 6 bolas, de las cuales solo una es blanca. La caja C contiene 3 bolas blancas en un total de 8 bolas.

a)

[0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que, al sacar al azar una bola de cualquiera de las cajas, esta sea blanca.

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una bola blanca, pertenezca a la caja B.

c)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, sacando al azar dos bolas de las cajas A o B, se obtengan dos bolas blancas.

4B) La venta de pizzas a la semana de un establecimiento sigue una distribución normal, con una media de $300$ pizzas y una desviación típica de $62$ pizzas.

a)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, escogiendo una semana al azar el establecimiento venda más de $370$ pizzas.

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, escogiendo una semana al azar, el establecimiento venda entre $200$ y $350$ pizzas.

c)

[0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que, escogiendo al azar dos semanas, se vendan, al menos, $150$ pizzas en cada una de ellas.

Tabla de la distribución normal $N(0,1)$