Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2022 · Extraordinaria

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:

$$\begin{cases} tx + y + z = 4 \\ x - ty + z = 1 \\ x + y + z = t + 2 \end{cases}$$

A.

[0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única.

B.

[1 PUNTO] Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.

C.

[0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución.

Considere la función $$f(x) = \frac{e^x}{x}$$

A.

[0,5 PUNTOS] Calcule la derivada primera de $f(x)$.

B.

[0,5 PUNTOS] Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

C.

[0,5 PUNTOS] Calcule las asíntotas verticales de $f(x)$.

D.

[1 PUNTO] Calcule las asíntotas horizontales de $f(x)$.

Los puntos $A = (0,-1,1)$, $B = (1,1,1)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta $r$ que pasa por el punto $B$ y es perpendicular al plano $\pi = 2x - y + z = 1$.

A.

[1,5 PUNTOS] Calcule la ecuación de la recta $r$.

Los puntos $A = (0,-1,1)$, $B = (1,1,1)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice está contenido en la recta $r$ que pasa por el punto $B$ y es perpendicular al plano $\pi = 2x - y + z = 1$.

B.

[1 PUNTO] Calcule las coordenadas del vértice $C$ sabiendo que el área del triángulo es $3\sqrt{30}$.

$C_1 = ($

,

,

$)$

$C_2 = ($

,

,

$)$

Ejercicio 4 [2,5 PUNTOS]

El tiempo de vuelo de un avión Santander – Madrid sigue una distribución normal de media 60 minutos y desviación típica 5 minutos.

A.

[1,25 PUNTOS] Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de $T = 70$ minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla.

B.

[1,25 PUNTOS] Calcule cuanto debe valer $T$ para que la probabilidad de perder el avión sea del $0{,}1\,\%$.

Distribución normal

$$F(x) = p(X \le x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2}\,dt$$

$x$

0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04

0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

A.

[0,5 PUNTOS] Calcule $A^2$ y comprueba que es regular.

$$\left(\right.$$

$$\left(\right.$$

B.

[0,5 PUNTOS] Calcule la matriz inversa de $A^2$.

$$\left(\right.$$

$$\left(\right.$$

C.

[1 PUNTO] Despeje $X$ en la ecuación matricial $A^2 X + B = C$.

D.

[0,5 PUNTOS] Calcule la matriz $X$ de orden $2\times 2$, que verifica $A^2 X + B = C$.

$$\left(\right.$$

$$\left(\right.$$

Considere la función $f(x) = \frac{3}{x}$

A.

Calcule el dominio y las asíntotas de $f(x)$.

$\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{$

$\}$

$x =$

$y =$

Considere la función $f(x) = \frac{3}{x}$

B.

Halle una primitiva de $f(x)$.

$F(x) =$

Considere la función $f(x) = \frac{3}{x}$

C.

Calcule el área de la región limitada por la función $y = f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = e$ y el eje OX de abscisas.

Área =

$\text{u}^2$

Ejercicio 7 [2,5 PUNTOS]

Considera la recta $r: \dfrac{x+1}{-1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z}{1}$ y el plano $\pi: x - 2y - z = -1$.

A.

[1 PUNTO] Estudie la posición relativa de recta y plano.

B.

[1,5 PUNTOS] Si $r$ corta a $\pi$ calcule el punto de corte y el ángulo que forman. Si la recta no corta al plano, calcule la distancia entre ambos.

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio 8 [2,5 PUNTOS]

El 90 % de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad $E$. El 5 % de las personas no vacunadas tienen la enfermedad $E$, y el 1 % de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad.

Se selecciona una persona al azar de dicha población:

A.

[1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma.

B.

[1,5 PUNTOS] Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma.