Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2021 · Extraordinaria

Ejercicio 1 [2.5 PUNTOS]

Considera el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \lambda^2 x + 3y = 3\lambda \\ 3x + y = 3 \end{cases}$$

dependiente del parámetro $\lambda$.

1)

[1 PUNTO] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso.

2)

[1 PUNTO] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario.

$x =$

$y =$

3)

[0.5 PUNTOS] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución.

Ejercicio 2 [2.5 PUNTOS]

Considera la función $f(x) = \dfrac{x}{e^x}$.

1)

[0.5 PUNTOS] Calcula la derivada primera.

2)

[0.5 PUNTOS] Halla los intervalos de crecimiento, y/o decrecimiento.

3)

[0.5 PUNTOS] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $x = 2$.

4)

[1 PUNTO] Calcula $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)$.

Considera los puntos $A = (1, 1, 0)$, $B = (0, 1, 1)$, $C = (-1, 0, 1)$ y el origen de coordenadas $O$.

1)

[0.75 PUNTOS] Calcula la ecuación del plano, $\Pi$, que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$.

2)

[0.25 PUNTOS] Comprueba que el origen de coordenadas, $O$, está contenido en el plano $\Pi$.

3)

[0.5 PUNTOS] Comprueba que $\vec{AB}$ es paralelo a $\vec{OC}$ y que $\vec{AO}$ es paralelo a $\vec{BC}$.

Ejercicio 3 - Métrica [1 PUNTO]

Considera los puntos $A = (1, 1, 0)$, $B = (0, 1, 1)$, $C = (-1, 0, 1)$ y el origen de coordenadas $O$.

4)

[1 PUNTO] Calcula el área del paralelogramo $ABCO$.

Ejercicio 4 [2.5 PUNTOS]

Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60% de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30%.

1)

[1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo.

2)

[1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar.

Ejercicio 5 [2.5 PUNTOS]

Considera la ecuación matricial $XA - 2X = A$, en donde $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -2 \end{pmatrix}$, siendo $a$ una constante real.

1)

[0.5 PUNTOS] Estudia el rango de $A$ en función del parámetro $a$.

2)

[0.25 PUNTOS] Indica para qué valores se puede calcular la inversa de $A$.

3)

[0.75 PUNTOS] Despeja $X$ de la ecuación matricial.

4)

[1 PUNTO] Calcula $X$ para $a = 2$.

Ejercicio 6 [1 PUNTO]

Considera la función $f(x) = -x^2 + 4x$.

1)

[0.25 PUNTOS] Calcula la derivada de $f(x)$.

2)

[0.75 PUNTOS] Halla los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de $f(x)$.

Ejercicio 6 [0.5 PUNTOS]

Considera la función $f(x) = -x^2 + 4x$.

3)

[0.5 PUNTOS] Calcula una primitiva de $f(x)$.

Considera la función $f(x) = -x^2 + 4x$.

4)

[1 PUNTO] Calcula el área del recinto limitado por $f(x)$, las rectas $x = 1$, $x = 3$ y el eje $OX$ de abscisas.

Considera los puntos $A = (2, 1, 5)$, $B = (3, 4, 1)$ y la recta $$r = \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{cases}$$

1)

[0.5 PUNTOS] Calcula la ecuación de la recta, $r'$, que pase por $A$ y $B$.

(

,

,

)

2)

[1 PUNTO] Determina la posición relativa de las rectas $r$ y $r'$.

Considera los puntos $A = (2, 1, 5)$, $B = (3, 4, 1)$ y la recta $$r = \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{cases}$$

3)

[1 PUNTO] Calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y el origen de coordenadas.

Ejercicio 8 [2.5 PUNTOS]

En una determinada población de adultos sanos, la concentración media de colesterol en sangre sigue una distribución normal con media 190 mg/dl y desviación típica 30 mg/dl. Un nivel elevado de colesterol puede indicar posibles problemas de salud.

1)

[1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un adulto sano de la población tenga un nivel de colesterol superior a 250 mg/dl.

2)

[1.25 PUNTOS] Calcula qué nivel de colesterol solo superan el 1% de adultos sanos de dicha población.

mg/dl