Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2025 · Extraordinaria

1A) Considera las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & a \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{con } a \in \mathbb{R}.$$

a)

[0,75 puntos] Estudia el rango de $AB$, en función de los valores de $a$.

b)

[0,75 puntos] Estudia el rango de $BA$, en función de los valores de $a$.

c)

[1 punto] Considera $a = 1$. Calcula, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $BAX = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$.

1B) Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} ax + y + z &= 4 \\ (a - 1)x - 3z &= 2 \\ y + (a^2 + a + 1)z &= 0 \end{cases}$$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

a)

[1,5 puntos] Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. Justifica la discusión:

b)

[0,5 puntos] Considera $a = -1$. Si el sistema es compatible, halla su solución general:

c)

[0,5 puntos] Considera $a = 2$. Si el sistema es compatible, halla su solución general:

2A) Considera la siguiente función: $f(x) = e^{-2x} \left(x^2 - 3x + \frac{3}{2}\right)$

a)

[1 punto] Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$:

b)

[0,75 puntos] Determina, si existen, los puntos de inflexión de $f(x)$:

c)

[0,75 puntos] Si existen, halla las asíntotas horizontales de $f(x)$:

2B) Considera las siguientes funciones: $f(x) = x^2 - x$ y $g(x) = 1 - x^2$.

a)

[0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $g(x)$ con el eje de abscisas $OX$:

b)

[0,5 puntos] Determina los puntos de corte de $f(x)$ con $g(x)$:

c)

[1,5 puntos] Calcula el área delimitada por $f(x)$, $g(x)$ y las rectas $x = -1$ y $x = 1$.

Considera la recta $r: \begin{cases} x - 2z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}$ y el punto $P = (-3, 2, 2)$.

a)

[0,5 puntos] Expresa la recta $r$ en forma continua:

b)

[1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$:

Considera la recta $r: \begin{cases} x - 2z - 2 = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}$ y el punto $P = (-3, 2, 2)$.

c)

[1 punto] Calcula la distancia entre $r$ y $P$.

4A) Se tienen dos urnas con bolas rojas y bolas verdes. En la urna A hay un total de 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. En la urna B hay un total de 4 bolas verdes y 2 bolas rojas.

a)

[0,5 puntos] Si se sacan al azar dos bolas de la urna A, a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que sean dos bolas rojas?

b)

[0,5 puntos] Si se saca una sola bola de una urna elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?

c)

[1,5 puntos] Si se saca una bola verde de una urna escogida al azar, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la urna A?

4B) En una población, el 85% de las personas son rubias. Además, su altura se distribuye según una distribución normal de media 170 cm y desviación típica de 16 cm.

Tabla de la distribución normal N(0,1)

a)

[0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 190 cm.

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 160 y 190 cm.

c)

[1 punto] Sabiendo que solo el 12% de las personas rubias de la población mide más de 190 cm, calcula la probabilidad de que, escogiendo a una persona al azar, esta sea rubia y mida más de 190 cm.