Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2023 · Extraordinaria

Ejercicio 1 [2,5 PUNTOS]

Considere las siguientes matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

A)

[0,5 PUNTOS] Calcule $A^t$, donde $A^t$ denota la traspuesta de la matriz $A$.

B)

[2 PUNTOS] Calcule $(3B - 2C)(A^t - I)$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.

Ejercicio 2 [2,5 PUNTOS]

Considere la función $$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$$.

A)

[0,5 PUNTOS] Calcule el dominio de definición de $f(x)$.

B)

[0,75 PUNTOS] Determine si hay intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$. En caso afirmativo, calcúlelos.

C)

[0,5 PUNTOS] Calcule los cortes de $f(x)$ con los ejes.

D)

[0,75 PUNTOS] Determine los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$.

Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]

A)

[1,5 PUNTOS] Escriba las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por el punto $(2, -1, 0)$. Es decir, de aquellas que tienen vector director $(v_1, v_2, v_3)$, donde $v_1, v_2, v_3 \in \mathbb{R}$ son parámetros.

$x =$

$y =$

$z =$

B)

[1 PUNTO] De las rectas anteriores, escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene vector director $(-1, 4, 1)$.

$x =$

$y =$

$z =$

Ejercicio 4 [2,5 puntos]

Cierto test determina si una persona consume cierto tipo de droga. En el 99% de los casos, el test clasifica como usuario de la droga a aquellos que la han consumido y también en el 99% de los casos, el test clasifica como no usuario de la droga a aquellos que no la han consumido. Además, el 0,5% de las personas a las que se les va a pasar el test consumen la droga.

A)

[1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que las personas a las que se les va a pasar el test no consuman la droga?

B)

[1,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma la droga si ha dado positivo en el test?

Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]

Considere la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & b \end{pmatrix}$$

en función del parámetro $b \in \mathbb{R}$.

A)

[0,75 PUNTOS] Calcule el rango de $A$ para los distintos valores del parámetro $b \in \mathbb{R}$.

B)

[0,75 PUNTOS] Determine para qué valores de $b \in \mathbb{R}$ la matriz $A$ tiene inversa.

C)

[1 PUNTO] Sea $B$ el conjunto formado por los $b \in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $b \in B$.

Considere la función $f(x) = \sin(x)$.

A)

[0,75 PUNTOS] Calcule una primitiva de $f(x)$.

Considere la función $f(x) = \sin(x)$.

B)

[1,75 PUNTOS] Calcule el área del recinto del plano limitado por $f(x)$ y el eje OX de abscisas para $x \in [0, 2\pi]$.

Ejercicio 7 [2,5 PUNTOS]

Considere el par de rectas

$$r: \begin{cases} 3x - 5 = y \\ z = 0 \end{cases} \qquad s: \begin{cases} 6x - 2y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$

A)

[1 PUNTO] Calcule la posición relativa de las dos rectas.

B)

[0,5 PUNTOS] De la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

C)

[1 PUNTO] De la ecuación de un plano ortogonal a la recta $r$.

Ejercicio 8 [2,5 PUNTOS]

En una población determinada la altura de los niños de 17 años sigue una distribución normal de media $175\text{ cm}$ y desviación típica $7{,}41$.

A)

[1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que en dicha población la altura de un niño de 17 años esté entre $170\text{ cm}$ y $180\text{ cm}$.

B)

[1,5 PUNTOS] ¿A partir de qué altura un niño de 17 años de dicha población se encontraría dentro del $5\%$ de niños de 17 años más altos de dicha población?

Distribución normal estándar $N(0, 1)$