Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2026 · Ordinaria

1A) Considera la matriz presentada a continuación,

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[0,5 puntos] Estudia el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$.

b)

[1 punto] Calcula $A^{100}$ en función del parámetro $a$.

c)

[1 punto] Para $a = -1$, calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple:

$$AXA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$

1B) Considera el siguiente sistema de ecuaciones:$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y + az = 1 \\ ay + z = 2 - a \end{cases}$$dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[1,5 puntos] Discute el sistema en función de los valores de $a$.

b)

[0,5 puntos] Considera $a = 2$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

c)

[0,5 puntos] Considera $a = 1$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

Considera la función real presentada a continuación,

$$f(x) = \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 4}$$

y responde a las siguientes cuestiones:

2A) Considera la función presentada a continuación,

$$f(x) = \frac{x^2 + ax + 1}{x + a^2}$$

donde $a \in \mathbb{R}$. Responde a las siguientes cuestiones:

a)

[1 punto] Calcula los valores de $a$ para los que $f(x)$ tiene como asíntota oblicua a la recta $y = x - 6$.

b)

[1 punto] Considera $a = -2$, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

c)

[0,5 puntos] Considera $a = -2$, halla la expresión de la recta tangente a $f(x)$ en $x = -1$.

Considera la función real presentada a continuación,

$$f(x) = \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 4}$$

y responde a las siguientes cuestiones:

a)

[1 punto] Si existen, calcula las asíntotas de $f(x)$.

Considera la función real presentada a continuación,

$$f(x) = \frac{e^x - 1}{e^{2x} - 4}$$

y responde a las siguientes cuestiones:

b)

[1,5 puntos] Calcula una primitiva de $f(x)$ que en $x = \ln 4$ tome el valor $\ln 2$.

Considera los puntos $A = (0, 0, 4)$, $B = (-3, 0, 0)$ y $C = (0, -2, 0)$.

a)

[0,5 puntos] Halla la ecuación general o implícita del plano que contiene a $A$, $B$ y $C$.

Considera los puntos $A = (0, 0, 4)$, $B = (-3, 0, 0)$ y $C = (0, -2, 0)$.

b)

[1 punto] Calcula la distancia entre el punto $P = (1, 1, 1)$ y la recta que contiene a $A$ y $B$.

c)

[1 punto] Calcula el volumen del tetraedro formado por los vértices $A$, $B$, $C$ y $D = (0, 0, 0)$.

4A) En un criadero de cobayas tienen variedades de pelo corto y de pelo largo. En cualquiera de estas variedades, disponen de animales blancos o marrones. Del total de cobayas, el 60% es de pelo corto, y solo el 8% son blancas de pelo largo.

a)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que, habiendo elegido una cobaya de pelo largo al azar, esta sea de color marrón.

Si la probabilidad de escoger al alzar una cobaya blanca es de 0,2:

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya marrón al azar, esta sea de pelo largo.

c)

[0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido una cobaya de pelo corto, esta sea marrón.

4B) El diámetro de las mandarinas de cierta variedad se distribuye normalmente con una media de $60\text{ mm}$ y una desviación típica de $16\text{ mm}$.

a)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro menor de $40\text{ mm}$ o mayor de $90\text{ mm}$.

b)

[1 punto] Calcula la probabilidad de que, al escoger al azar dos mandarinas, ambas tengan menos de $50\text{ mm}$ de diámetro.

c)

[0,5 punto] Calcula la probabilidad de que, habiendo escogido al azar una mandarina, esta tenga un diámetro entre $40\text{ mm}$ y $50\text{ mm}$.