Examen de Matemáticas II PAU Cantabria 2025 · Ordinaria

Cuestión 1A. Considera las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} a + 1 & 1 & 1 \\ 1 & a + 3 & 1 \\ 1 & 1 & a + 1 \end{pmatrix}, \text{ con } a \in \mathbb{R}; \text{ y } B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.$$

Tarea a, [1 punto].

Halla los valores del parámetro $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.

Tarea b, [1 punto].

Considera $a = -3$. Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$.

Tarea c, [0,5 puntos].

Considera $a = -3$. Halla, si es posible, la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial: $AX = B$.

Cuestión 1B. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} ax + y - z = 1 \\ (a^2 - 2)y + 2z = -2 \\ -x + z = 0 \end{cases}$$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

Tarea a, [1,5 puntos].

Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. Justifica la discusión en el recuadro.

Tarea b, [1 punto].

Considera $a = 0$. Si el sistema es compatible, halla su solución general.

APARTADO 2, (Bloque B) [2,5 puntos].

Cuestión 2A. Considera la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}, & \text{si } x \neq 2 \\[1em] e^k, & \text{si } x = 2 \end{cases}$$

con $k \in \mathbb{R}$ un parámetro a determinar.

Tarea a, [0,75 puntos].

Determina el valor del parámetro $k$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$.

Tarea b, [1 punto].

Si existen, halla las asíntotas de $f(x)$ y especifica de qué tipo son.

Tarea c, [0,75 puntos].

Obtén la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x = 1$.

APARTADO 2, (Bloque B) [2,5 puntos].

Cuestión 2B. Considera la siguiente función: $f(x) = (x^2 - 2)e^{2x}$.

Tarea a, [0,5 puntos].

Halla los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas $OX$ y los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de ordenadas $OY$.

Tarea b, [1 punto].

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.

Tarea c, [1 punto].

Calcula el área comprendida entre la curva $y = f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = -2$ y $x = 1$.

APARTADO 3 (Bloque C) [2,5 puntos]

Considera la recta $r: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y - 2z = 1 \end{cases}$ y el punto $P = (1, 1, 1)$.

Tarea a, [1 punto]. Determina los puntos de $r$ que están a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades de $P$.

Tarea c, [0,75 puntos]. Calcula la distancia entre $r$ y $P$.

APARTADO 3 (Bloque C) [2,5 puntos]

Considera la recta $r: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ y - 2z = 1 \end{cases}$ y el punto $P = (1, 1, 1)$.

Tarea b, [0,75 puntos]. Obtén la ecuación del plano que contiene a $r$ y a $P$.

En un colegio se ofrecen solo atletismo y baloncesto como actividades deportivas extraescolares. $P(A) = 0{,}40$, $P(B) = 0{,}65$. Solo un $10\%$ no se matricula en ningún deporte.

Tarea a, [1 punto]. Calcula la probabilidad de que un alumno se matricule en los dos deportes.

Tarea b, [1,5 puntos]. Calcula $P(A/B)$, $P(B/A)$ y $P(A/B^c)$.

Dos sedes fabrican aspiradoras. Sede A: $60\%$, sede B: $40\%$. Fallan primer año: A un $0{,}15\%$, B un $0{,}1\%$.

Tarea a, [0,75 puntos]. Calcula la probabilidad de que una aspiradora fabricada en la sede B no falle durante el primer año.

Tarea b, [0,75 puntos]. Calcula la probabilidad de que una aspiradora elegida al azar falle durante el primer año.

Tarea c, [1 punto]. Si no falla el primer año, probabilidad de que haya sido fabricada en la sede A.