Examen de Matemáticas II PAU Canarias 2022 · Julio

Resuelve los siguientes apartados:

a)

Considera la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Calcular los coeficientes $a, b, c, d$, sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto $P(0,1)$ y su gráfica tiene un punto de inflexión $Q(1,-1)$. Dar la expresión de la función $f(x)$.

Resuelve los siguientes apartados:

b)

Resuelve el siguiente límite: $$\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$$

Resuelve los siguientes apartados:

Considera las siguientes funciones: $y = 3x - x^2$; $y = x - 3$

a)

Representa el recinto que encierra las dos funciones anteriores.

b)

Calcula el área del recinto limitado por las funciones anteriores.

$x_1 =$ y $x_2 =$

Bloque 2.- Álgebra (seleccione solo una pregunta)

2A. Resuelve los siguientes apartados:

a)

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, para $k \in \mathbb{R}$ sea $C$ la matriz dada por:

$$C = A^t + k B \cdot A$$

Averigua para qué valores de $k$, la matriz $C$ tiene rango 2.

b)

Encuentra la matriz $X$, de dimensión $3 \times 3$, que verifica $M^t \cdot X = I - M$, donde

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

2B. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 2x + 6y + kz = 0 \\ kx + 4y + 2z = 2 \\ kx + 6y + 2z = k - 2 \end{cases}$$

a)

Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro $k$ [1.5 ptos]

b)

Resuelve el sistema cuando el parámetro $k$ toma el valor $k = 0$ [1 pto]

$x =$

$y =$

$z =$

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes: $$r \equiv \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases} \quad\text{y}\quad \pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$$

3A. Resuelve los siguientes problemas del espacio tridimensional:

a)

Dadas las rectas $r:\begin{cases} x + y + z + 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases}$ y $s:\begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - 3\lambda \end{cases}$, estudia la posición relativa entre $r$ y $s$. [1,5 ptos]

b)

Halla la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. [1 pto]

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes: $$r \equiv \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases} \quad\text{y}\quad \pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$$

a)

Sabiendo que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto $A$, dar la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ que pasa por dicho punto $A$. [1.5 ptos]

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes: $$r \equiv \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases} \quad\text{y}\quad \pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$$

b)

Calcula el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$.

[1 pto]

4A. El 10% de la población de Canarias tiene alergia a la flor del olivo. Con esta información, responde a las siguientes preguntas:

Distribución normal estándar $N(0, 1)$

a)

En una muestra de 100 individuos, ¿qué probabilidad hay de que más de 12 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? [1 pto]

b)

Se toma una muestra de 400 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 32 seleccionados tengan alergia a la flor del olivo? [1 pto]

c)

En una muestra de 500 individuos, ¿cuál es el número esperado de individuos que no tendrán alergia a la flor del olivo? [0,5 ptos]

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.

a)

Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos?

b)

Comprueba si es cierta la siguiente afirmación: «En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5% de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos»

c)

Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos?