Examen de Matemáticas II PAU Canarias 2024 · Julio

Se considera la función:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - bx + 9}{x^2+3}, & x \le 0 \\ \dfrac{ax}{e^x-1}+2, & x>0 \end{cases}$$

a)

Estudiar los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua y derivable en $x=0$.

Valor de $a$:

Valor de $b$:

b)

Para los valores $a=1$ y $b=-2$, hallar la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en $x=-1$.

Ecuación de la recta tangente:

El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas $y=x(3-x)$ e $y=x^2-7x+8$, donde la unidad de medida es el metro.

Representa un esbozo de la base metálica y calcula el presupuesto de su construcción si el precio del m² del material es de 65 €.

a)

Esbozo de la región delimitada por las dos parábolas:

b)

Área de la región delimitada por las dos parábolas:

m²

Presupuesto de construcción:

€

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es 11/5. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Halla la cantidad de dinero que aporta cada uno.

Cantidad aportada por Aythami:

€

Cantidad aportada por Besay:

€

Cantidad aportada por Chamaida:

€

Dada la siguiente matriz: $$M_k=\begin{pmatrix}k&0&k\\0&k&0\\2k-3&0&k\end{pmatrix},\quad k\in\mathbb{R}$$

a)

Estudia el rango de la matriz $M_k$, dependiendo de los valores del parámetro $k$.

Rango de $M_k$ si $k=0$:

Rango de $M_k$ si $k=3$:

Rango de $M_k$ para cualquier otro valor de $k$ (distinto de 0 y 3):

b)

Tomamos $M_1$ como la matriz anterior para el valor $k=1$, y $B=\begin{pmatrix}-4&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}$, halla la matriz $X$ que satisface la ecuación: $$X\cdot M_1+X\cdot M_1^{T}=B$$

Matriz $X$ (2 filas x 3 columnas):

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:

$$r_1: \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases}, \quad r_2: \frac{1-x}{2} = y = \frac{1-z}{2}$$

a)

Estudiar la posición relativa de las rectas anteriores.

b)

Hallar la ecuación de la recta $s$ que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por $P\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$. Calcular el punto de corte de la recta $s$ con la recta $r_1$.

$x =$

$y =$

$z =$

3B. Responder a las siguientes cuestiones:

a)

Justificar si pueden existir vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, que comparten el punto de origen, y cumplen que $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ y $\vec{u} \cdot \vec{v} = 8$. [0,75 ptos]

b)

En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes:

$$\pi: x + 3y + 2z + 3 = 0, \quad r: \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases}$$

Calcular el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. [1,75 ptos]

$x =$

$y =$

$z =$

Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es $1/3$, que la produzca B es $2/3$ y que la produzca C es $1/7$.

a)

Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad?

b)

Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus C?

El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 70 lanzamientos en cada entrenamiento.

a)

Calcular la probabilidad de marcar entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento.

b)

Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90%, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justificar la respuesta.

c)

Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcular el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada.