Examen de Matemáticas II PAU Canarias 2026 · Julio

Bloque 1.- Análisis I (La ultramaratón)

Una ultramaratón internacional realizada en Gran Canaria atraviesa espacios naturales protegidos muy sensibles, como el Parque Natural de Tamadaba o el Parque Rural del Nublo. El Cabildo Insular ha establecido la cantidad máxima de 7500 participantes para poder garantizar la conservación de los parques por los que discurre la prueba.

Siguiendo datos de otros años, se propone un modelo matemático dado por la función $I(t)$, que mide el número total de corredores inscritos (expresados en miles) transcurrido el tiempo $t$ (en meses) desde la apertura de las inscripciones.

$$I(t) = \begin{cases} 5e^{0.8t-4}, & 0 \le t \le 5 \\ \dfrac{14t - 65}{2t - 9}, & t > 5 \end{cases}$$

a)

Indicar si el modelo es continuo y derivable en su dominio de definición.

[1,5 puntos]

b)

El modelo propuesto, ¿garantiza que no se superará el número máximo de inscripciones permitidas? Justificar la respuesta.

[0,5 puntos]

Dada la siguiente matriz $A \in M_{3\times 3}$ con $k \in \mathbb{R}$:$$A = \begin{pmatrix} 3 & -k & 0 \\ 1 & 2 & k \\ k & 0 & k \end{pmatrix}$$

a)

Averiguar los valores de $k$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.

La matriz $A$ tiene inversa para todo $k \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 3\}$.

b)

Calcular la matriz inversa de $A$, cuando $k = 1$.

Bloque 3.- Geometría

Bloque 3.- Geometría

En el espacio tridimensional, se conoce que el siguiente plano y recta son secantes:

$$\pi: x + 3y + 2z = 10 \quad; \quad r: \frac{x + 21}{11} = 3 - y = \frac{5 - z}{2}$$

a)

Averiguar el punto de corte entre el plano $\pi$ y la recta $r$.

[1 punto]

$x =$

$y =$

$z =$

Bloque 3.- Geometría

Bloque 3.- Geometría

En el espacio tridimensional, se conoce que el siguiente plano y recta son secantes:

$$\pi: x + 3y + 2z = 10 \quad; \quad r: \frac{x + 21}{11} = 3 - y = \frac{5 - z}{2}$$

b)

Calcular el ángulo generado por el plano $\pi$ y la recta $r$.

[1 punto]

grados (°)

Bloque 4.- Análisis II

4A. Calcular la siguiente integral indefinida:

$$\int \sqrt{7x + 5}\,dx$$

4B. Dada la siguiente función:$$f(x) = x^2 \cdot e^{1-x}$$

a)

Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1,25 puntos]

b)

Estudiar la tendencia de $f(x)$ cuando se aproxima a $\pm\infty$. ¿Qué se puede afirmar en relación a la asíntota horizontal de $f(x)$? [0,75 puntos]

Bloque 5.- Probabilidad

5A. La playa de Famara (Lanzarote) es muy famosa por la calidad de sus olas para la realización de Surf. La academia de surf "FaMa-t-Surf" ofrece cursos para quienes quieren iniciarse en este deporte y garantiza que, tras sus sesiones de formación, un surfista principiante surfeará la ola con un $70\%$ de posibilidades.

a)

Se elige al azar un surfista que ha seguido las clases de esta academia. Si intenta surfear 5 olas, ¿cuál es la probabilidad de que logre surfear alguna de ellas?

b)

Para contratar un nuevo monitor se evalúa a un surfista experimentado que tiene un $90\%$ de probabilidad de surfear una ola. Se contrata si logra surfear al menos 14 de 15 olas, ¿cuál es la probabilidad de que consiga el puesto?

Bloque 5.- Probabilidad

5B. El servicio de instrumentación del Roque de los Muchachos (La Palma) recibe un lote de 120 sensores de luz. De estos, 20 sensores de luz son de ultra-alta sensibilidad destinados al telescopio LST-1, y el resto son de sensibilidad estándar y se reparten por igual entre los telescopios MAGIC I y MAGIC II.

Tras el largo transporte por carretera hasta la cumbre, la probabilidad de que un sensor de los MAGIC sufra un micro-desajuste y se deba recalibrar en el laboratorio, es del $1.6\%$. Mientras que, sensores del LST-1 están en embalajes más reforzados y el micro-desajuste sucede el $0.9\%$ de las veces.

Antes de instalarlos, el jefe de operaciones elige al azar un sensor del lote para comprobar su estado.

a)

Calcular la probabilidad de que el sensor de luz elegido deba ser recalibrado.

b)

Elegido un sensor de luz que no requiere recalibración, justificar razonadamente si la probabilidad de que pertenezca al telescopio MAGIC-II es superior al doble de la probabilidad de que proceda del telescopio LST1.