Examen de Matemáticas II PAU Baleares 2022 · Extraordinaria

Considerau les matrius:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ \lambda & 2 & -1 \\ 2 & \lambda & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \lambda & 3\lambda & 6 \end{pmatrix}.$$

a)

Calculau el determinant de la matriu $A$. [1 punt]

b)

En funció del paràmetre $\lambda$, calculau el rang de la matriu $A$. [3 punts]

Si $\lambda \neq 1$ i $\lambda \neq 2$: $\operatorname{rg}(A) =$

Si $\lambda = 1$: $\operatorname{rg}(A) =$

Si $\lambda = 2$: $\operatorname{rg}(A) =$

c)

Per al valor de $\lambda = 1$, calculau la matriu inversa de $A$, $A^{-1}$. [3 punts]

d)

Per al valor de $\lambda = 1$, resoleu l'equació matricial $XA = B$. [3 punts]

$x =$

$y =$

$z =$

Durant un any, certa empresa ven 21000 vehicles de tres models $A$, $B$ i $C$, al preu de 10000, 15000 i 20000 euros, respectivament. El total de les vendes és de 332 milions d'euros. S'ha observat que també s'han venut 21000 vehicles comptant només els del model $B$ i $\lambda$ vegades els del model $A$.

a)

Plantejau un sistema d'equacions amb les condicions del problema, en funció del nombre de vehicles venuts de cada model ($x$ per a $A$, $y$ per a $B$ i $z$ per a $C$). [3 punts]

Equació 1 (total vehicles):

Equació 2 (total euros):

Equació 3 (condició $\lambda$):

b)

Calculau el nombre de vehicles venuts de cada model, suposant $\lambda = 3$. [3 punts]

Vehicles model $A$ ($x$):

Vehicles model $B$ ($y$):

Vehicles model $C$ ($z$):

c)

Determinau si existeix algun valor del paràmetre $\lambda$ per al qual l'anterior situació no es pugui donar. [4 punts]

Valor de $\lambda$ per al qual no es pot donar (sistema incompatible): $\lambda =$

Donades les funcions $f(x) = x^2 - 4x$ i $g(x) = 4 - 4x$.

a)

Representau-les gràficament en un mateix sistema de coordenades. [5 punts]

b)

Calculau els punts de tall d'ambdues gràfiques. [2 punts]

Punt de tall 1 $(x_1, y_1)$ amb $x_1 < x_2$: $x_1 =$ $y_1 =$

Punt de tall 2 $(x_2, y_2)$ amb $x_1 < x_2$: $x_2 =$ $y_2 =$

c)

Calculau l'àrea del recinte limitat per les gràfiques d'ambdues funcions. [3 punts]

Sigui la funció $f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}$.

(c)

Comprovau que $f(-1) = f(1)$ i que $f'(x)$ no és mai zero a l'interval $[-1, 1]$. Contradiu aquest fet el teorema de Rolle?

Sigui la funció $f(x) = 1 - \sqrt[3]{x^2}$.

(a)

Calculau el domini i els punts de tall de la gràfica de la funció amb els eixos.

(b)

Calculau la derivada de la funció i obteniu els intervals de creixement i decreixement.

(d)

Feu un esbós de la gràfica de la funció $y = f(x)$.

Sigui $a$ un paràmetre real. Considerau el pla $\pi \equiv 3x - 2y - z = 4$, el punt $P(1, 1, 0)$ i la recta

$$r \equiv \begin{cases} x - y = 0, \\ x - az = 1. \end{cases}$$

En cada cas, si existeix, obteniu el valor del paràmetre $a$ per al qual:

(a)

el punt $P$ pertany a la recta $r$.

(b)

la recta $r$ i el pla $\pi$ es tallen en un únic punt.

(c)

la recta $r$ està continguda en el pla $\pi$.

(d)

la recta $r$ és perpendicular al pla $\pi$.

Donats els punts $A(1, 1, 1)$, $B(0, 0, -2)$, $C(2, -1, 0)$, $D(-1, 2, -1)$ i $E(0, 0, 0)$.

(a)

Comprovau que els punts $A$, $B$ i $C$ determinen un únic pla, $\pi$.

(b)

Esbrinau si el triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$ és rectangle en el vèrtex $A$.

(c)

Trobau l'angle que forma la recta que passa pels punts $A$ i $D$ amb el pla $\pi$.

(d)

Calculau el volum del tetraedre definit pels vectors $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$.

Una prova diagnòstica d'una malaltia dona resultat negatiu el 5% de les vegades que s'aplica a un individu que la pateix i dona positiu el 10% de les vegades que s'aplica a un individu que no la pateix. Les estadístiques mostren que la dita malaltia afecta 50 de cada 10000 persones. Si una persona escollida a l'atzar se sotmet a la prova diagnòstica, calculau les probabilitats següents:

a)

Que un individu no pateixi la malaltia. (1 punt)

b)

Que la prova doni resultat positiu. (3 punts)

c)

Que la persona no pateixi la malaltia, si el resultat de la prova és negatiu. (3 punts)

d)

Que el resultat de la prova sigui erroni. (3 punts)

8. Es tenen tres urnes $A$, $B$ i $C$. L'urna $A$ conté 4 boles vermelles i 2 boles negres. L'urna $B$ conté 3 boles vermelles i 3 boles negres. L'urna $C$ conté 6 boles negres. S'escull una urna a l'atzar i s'extreuen dues boles de manera consecutiva i sense reemplaçament.

a)

Calculau la probabilitat que la primera bola estreta sigui vermella.

b)

Calculau la probabilitat que la primera bola estreta sigui vermella i la segona sigui negra.

c)

Sabent que la primera bola estreta és vermella, calculau la probabilitat que la segona sigui negra.