Examen de Matemáticas II PAU Baleares 2024 · Extraordinaria

Siguin les matrius

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.$$

a)

[3 punts] Calcula la matriu $M = A^T A - B B^T$, on $A^T$ i $B^T$ representen les matrius transposades de $A$ i $B$ respectivament.

$($

$)$

b)

[3 punts] Justifica si $M$ és o no invertible. En cas afirmatiu, resol els sistemes d'equacions

$$M \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad M \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},$$

per tal de calcular la inversa de la matriu $M$. Comprova que la matriu $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, per als valors de $a, b, c$ i $d$ calculats, és la matriu inversa de $M$.

$($

$)$

c)

[4 punts] Calcula la matriu $X$ que compleix la igualtat $XM + A = C$.

$($

$)$

P2. — Sigui $I_3$ la matriu identitat d'ordre $3 \times 3$ i $A$ la matriu

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

(a)

[4 punts] Calcula la matriu $B = 3A - kI_3$, indicant la seva expressió en funció del paràmetre real $k$.

$\begin{pmatrix}

\text{[b00]} & \text{[b01]} & \text{[b02]} \\

\text{[b10]} & \text{[b11]} & \text{[b12]} \\

\text{[b20]} & \text{[b21]} & \text{[b22]}

\end{pmatrix}$

(b)

[4 punts] Discuteix el rang de la matriu $B$ segons el paràmetre $k$.

(c)

[2 punts] Per a quins valors de $k$ es pot calcular la inversa de $B$? Justifica la resposta.

Siguin $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ i $R = (-4, 1, 5)$ punts de $\mathbb{R}^3$.

(a)

[3 punts] Demostra que els tres punts formen un triangle rectangle. Indica quin dels 3 angles és recte.

(b)

[3 punts] Es podria construir un quadrat afegint un únic nou vèrtex? Justifica la resposta indicant els mòduls dels catets.

(c)

[4 punts] Prova que, per a qualsevol valor de $a$ real, el punt $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb $P$, $Q$ i $R$.

Siguin les rectes

$$r: \begin{cases} x + 2y = -1, \\ z = 1, \end{cases} \quad \text{i} \quad s: x + 1 = \frac{y - 1}{2} = z.$$

Calcula:

a)

[5 punts] La posició relativa de les dues rectes. És a dir, si són coincidents, paral·leles, es tallen, o s'encreuen. En els darrers dos casos, especifica si ho fan perpendicularment.

b)

[5 punts] L'equació del pla que és paral·lel a les dues rectes $r$ i $s$, i passa pel punt $A = (2, 2, 1)$.

[5 punts] Donada la funció $f(x) = ax + b\sqrt{x}$, determina els valors de $a$ i $b$ sabent que $f(x)$ assoleix el seu màxim a $x = 100$ i que passa pel punt $(49, 91)$.

[5 punts] Donada la funció

$$g(x) = \frac{(x - 1)\sqrt{x}}{x^2 - 1},$$

indica quin és el seu domini. És $g(x)$ una funció contínua en el seu domini? Justifica la resposta i, en cas negatiu, indica quin tipus de discontinuïtat presenta.

Sí

No

[10 punts] Calcula l'àrea de la superfície compresa entre les corbes $f(x) = 6x - x^2$, $g(x) = x^2 - 2x$ i els seus punts de tall.

P7. — El $38\%$ dels habitants d'un poble afirmen que el seu esport preferit és la natació, mentre que el $21\%$ prefereixen el ciclisme i la resta s'inclinen més per altres esports. Si s'escull a l'atzar una persona i, tot seguit una de diferent, calcula la probabilitat dels següents successos:

(a)

[3 punts] Que les dues persones siguin aficionades a la natació.

(b)

[3 punts] Que una de les dues persones sigui aficionada al ciclisme i l'altra a la natació.

(c)

[4 punts] Sabent que la primera prefereix el ciclisme, que la segona no prefereixi aquest esport.

P8. — El pes, en grams, de les mongetes en llauna es distribueix normalment amb mitjana $\mu$ i desviació típica $7{,}8$. Atès que el $10\%$ d'aquestes llaunes contenen menys de $200\text{ g}$, calcula:

(a)

[6 punts] El valor de la mitjana $\mu$ arrodonint-la a les unitats.

(b)

[2 punts] El percentatge de llaunes que contenen més de $225\text{ g}$ de mongetes. Nota: empra la mitjana arrodonida a les unitats.

%

(c)

[2 punts] El percentatge de llaunes que contenen entre $190\text{ g}$ i $225\text{ g}$ de mongetes. Nota: empra la mitjana arrodonida a les unitats.

%