Examen de Matemáticas II PAU Baleares 2023 · Extraordinaria

Sigui el sistema$$\begin{cases} mx + y - z = 1 \\ 2x + my = 1 \\ x + mz = 0 \end{cases}$$

a)

[7 punts] Discuteix el nombre de solucions que té el sistema segons el paràmetre $m$.

b)

[3 punts] Resol el sistema per al cas $m = 1$.

P2. — Sigui $A$ una matriu invertible $n \times n$ amb coeficients reals tal que compleix la igualtat $A^2 + A = I$. Aleshores,

(a)

[3 punts] Satisfà la matriu

$$M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

les condicions de l'enunciat? És a dir, compleix $M$ la igualtat de l'enunciat i, a més, és invertible?

Tornant a considerar que $A$ és una matriu qualsevol que satisfà les condicions de l'enunciat,

(b)

[3 punts] Calcula la inversa de $A$.

(c)

[4 punts] Comprova que se satisfà la igualtat $A(B + A) - I = A(B - I)$, sent $B$ una matriu quadrada qualsevol $n \times n$ amb coeficients reals.

P3. — Siguin els punts $A = (1, 2, 0)$, $B = (-1, 0, 1)$, $C = (0, 0, 1)$ i $D = (3, 1, 2)$.

(a)

[4 punts] Determina la recta $r$ que passa per $D$ i és perpendicular al pla que conté els punts $A$, $B$ i $C$.

(b)

[4 punts] Determina si els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris o no.

(c)

[2 punts] És $D$ el punt de tall de la recta amb el pla de l'apartat (a)? Justifica la resposta.

Sigui el pla $\pi: 3x + y + z = 2$ i els punts $P = (0, 1, 1)$ i $Q = (2, -1, -3)$.

(a)

[2 punts] Són $P$ i $Q$ punts del pla $\pi$? Justifica la resposta.

(b)

[4 punts] Calcula el punt $S$ situat sobre la recta $PQ$ que es troba a $3/4$ parts de $P$ i a $1/4$ part de $Q$.

$S = ($

$,$

$,$

$)$

(c)

[4 punts] Determina l'equació implícita (també anomenada cartesiana) de la recta que passa per $P$ i és perpendicular al pla $\pi$.

P5. — La reproducció d'un insecte al llarg del temps segueix la funció $f(x) = e^{-x}(2x + 1)$ sent $x \ge 0$ el temps en mesos i $f(x)$ el nombre d'insectes en milions.

(a)

[4 punts] Quants de milions d'insectes hi havia en l'instant inicial? Cap a on tendeix la quantitat d'insectes al llarg dels anys? Interpreta els resultats.

(b)

[4 punts] Quin és el màxim nombre d'insectes que hi arriba a haver? En quin instant de temps s'assoleix aquest valor?

(c)

[2 punts] Hi ha algun moment en què la població supera els 2 milions d'insectes? Justifica la resposta.

P6. — [10 punts] Calcula la integral de la funció $$f(x) = \frac{x^4 + 2x - 6}{x^2 + x - 2}$$

A =

, B =

P7. — En una classe on tots els alumnes practiquen algun esport, el 60% dels alumnes juga a futbol o bàsquet i el 10% practica els dos. Per altra banda, se sap que hi ha un 60% d'alumnes que no juga a futbol.

(a)

[3 punts] Sigui $F = \text{'juga a futbol'}$ i sigui $B = \text{'juga a bàsquet'}$, escriu, en termes d'unions, interseccions i complementaris d'aquests dos esdeveniments, les tres probabilitats que indica l'enunciat.

(b)

Calcula la probabilitat que, escollint a l'atzar un alumne de la classe,

(b.1)

[1 punt] Jugui a futbol.

(b.2)

[2 punts] Jugui a bàsquet.

(b.3)

[2 punts] Jugui a bàsquet i no a futbol (és a dir, només jugui a bàsquet).

(b.4)

[2 punts] No jugui ni a futbol ni a bàsquet.

(a)

[5 punts] En un examen de tecnologia, quina és la probabilitat de treure una nota entre 5 i 7 si se sap que les notes segueixen una distribució normal de mitjana 6 i desviació típica 2?

(b)

[5 punts] En un examen de filosofia, el 35% dels alumnes presentats varen obtenir una nota major que 6, mentre que el 51% en varen obtenir una menor que 4. Suposant que les notes segueixen una distribució normal, determina quina és la seva mitjana $\mu$ i la seva desviació típica $\sigma$.