Examen de Matemáticas II PAU Baleares 2022 · Ordinaria

Siguin les matrius:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

i $\lambda$ un paràmetre real qualsevol.

a)

Calculau la matriu $\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}$. [2 punts]

b)

Calculau la matriu $(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2$. [3 punts]

c)

Calculau, si existeixen, els valors del paràmetre $\lambda$ per als quals es satisfà la relació $(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I})^2 = \mathbf{B}$. [5 punts]

2. Considerau el sistema d'equacions lineals depenent del paràmetre $a$,$$\left\{\begin{array}{rll}3x - 2y &= 4 \\ ay &= -3 \\ ax + 3z &= 0\end{array}\right.$$

(a)

Discutiu el sistema segons el paràmetre $a$. [4 punts]

(b)

Per al valor del paràmetre $a$ per al qual el sistema té solució, resoleu-lo. [6 punts]

Considerau la funció $f(x) = e^{3x-2}$.

(a)

Determinau les coordenades del punt en el qual la tangent a la gràfica de la funció $y = f(x)$ té pendent igual a $3/e$. Escriviu l'equació d'aquesta recta tangent. (4 punts)

(c)

Feu un esbós de la gràfica de la funció $y = f(x)$. (2 punts)

Considerau la funció $f(x) = e^{3x-2}$.

(b)

Calculau el $\lim_{x \to 2/3} \frac{1 - f(x)}{6x - 4}$. (2 punts)

Considerau la funció $f(x) = e^{3x-2}$.

(d)

Calculau l'àrea de la superfície fitada per la gràfica de la funció $y = f(x)$ i les rectes $x = 0$ i $y = 1$. (2 punts)

Donada la funció

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+a}{2x-4} & \text{si } x \le 0, \\ 10x^2 + x + b & \text{si } x > 0. \end{cases}$$

(a)

Calculau la condició que han de complir els paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $y = f(x)$ sigui contínua. (3 punts)

(b)

Calculau $f'(x)$. (4 punts)

(c)

Trobau la condició i calculau els paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $y = f(x)$ sigui derivable. (3 punts)

Del paral·lelogram (quadrilàter els costats oposats del qual són paral·lels) $ABCD$, es coneixen els vèrtexs consecutius $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ i $C(4, 3, -2)$.

a)

Calculau el cosinus de l'angle que formen els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$. [2 punts]

b)

Calculau les coordenades del punt mitjà, $M$, del segment $AC$. [2 punts]

$($ $,$ $,$ $)$

c)

Calculau les coordenades del vèrtex $D$. [4 punts]

$($ $,$ $,$ $)$

d)

Calculau l'àrea del paral·lelogram $ABCD$. [2 punts]

Donades les rectes:$$r \equiv \begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - z = 1, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = -\lambda, \\ z = -4 - \lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$

a)

Calculau una equació vectorial per a la recta $r$. [2 punts]

b)

Calculau la posició relativa de les rectes $r$ i $s$. [3 punts]

c)

Calculau l'equació general del pla perpendicular a la recta $r$ que passa pel punt $P(2, 0, -1)$. [2 punts]

d)

Calculau l'equació general del pla paral·lel a la recta $r$ que conté a la recta $s$. [3 punts]

Donats dos esdeveniments $A$ i $B$, es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0.7$, $P(\bar{B}) = 0.4$ i $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.58$, on $\bar{A}$ i $\bar{B}$ indiquen els esdeveniments contraris (o complementaris) de $A$ i $B$, respectivament. Calculau les probabilitats següents:

(a)

$P(\bar{A})$, $P(B)$ i $P(A \cap B)$. Són $A$ i $B$ esdeveniments independents? (4 punts)

Sí

No

(b)

$P(A \cup B)$. (1 punt)

(c)

$P(B \cap \bar{A})$. (3 punts)

(d)

$P(A/B)$ i $P(\bar{A}/B)$. (2 punts)

8. El temps de durada de les actualitzacions d'un cert programa antivirus segueix una distribució estadística normal de mitjana 8.8 mesos amb una desviació típica de 3 mesos.

(a)

Quin percentatge de les actualitzacions supera els 10 mesos? (3 punts)

%

(b)

Quin percentatge de les actualitzacions s'ha mantingut entre 7 i 10 mesos? (3 punts)

%

(c)

Per a quin valor del paràmetre $c$ es té que l'interval $(8.8 - c, 8.8 + c)$ és l'interval de temps de durada del 98% de les actualitzacions? (4 punts)