Examen de Matemáticas II PAU Baleares 2021 · Ordinaria

1. Donada la matriu

$$A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix},$$

(a)

Estudia el rang de la matriu $A$ segons els valors de $a$. (6 punts)

Cas

$\operatorname{rang}(A)$

Si $a \neq 0, 1, -1$

Si $a = 0$

Si $a = 1$

Si $a = -1$

(b)

Determina per a quins valors de $a$ la matriu $A$ és invertible. (1 punt)

(c)

Per al valor de $a = -1$ calcula la solució, $X$, de l'equació matricial

$$A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ (3 punts)

$x =$

$y =$

$z =$

2. Sigui la matriu

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

(a)

Calcula $A^t$, $A^2$ i $A^{-1}$, on $A^t$ és la matriu transposada i $A^{-1}$ la inversa. (3 punts)

(b)

Sigui $I$ la matriu identitat. Resol $X$ de l'equació

$$A^2 - 2AX + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}.$$ (3 punts)

(c)

Calcula totes les matrius $B$ per a les quals es té que

$$A \cdot B = B \cdot A^t$$ (4 punts)

Considera la funció $$f(x) = \frac{1}{x^4}.$$

(a)

Representa-la gràficament.

(7 punts)

Considera la funció $$f(x) = \frac{1}{x^4}.$$

b)

Comprova que $f(2) = f(-2)$. [1 punt]

c)

Comprova que no existeix $c \in [-2,2]$ tal que $f'(c) = 0$. [1 punt]

d)

Hi ha una contradicció amb la conclusió del teorema de Rolle? Justifica la resposta. [1 punt]

Sí

No

Donada la funció

$$f(x) = \frac{-x}{4 - x^2}.$$

(a)

Calcula una primitiva de $f(x)$.

(5 punts)

(b)

Calcula l'àrea delimitada per la gràfica de $f(x)$, les rectes $x = \sqrt{5}$ i $x = \sqrt{6}$, i l'eix $X$.

(5 punts)

5. Considera els punts,

$$A = (5, a, 7), \quad B = (3, -1, 7), \quad C = (6, 5, 4).$$

(a)

Determina el valor del paràmetre $a$ per al qual els punts $A$, $B$ i $C$ formen un triangle rectangle, amb l'angle recte al punt $B$. (3 punts)

(b)

Per al valor de $a = -2$, calcula l'àrea del triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$. (3 punts)

(c)

Per al valor de $a = 5$, calcula l'angle format pels vectors $\vec{AB}$ i $\vec{AC}$. (4 punts)

Donades les rectes

$$r: \frac{x - m}{-1} = \frac{y + 10}{4} = \frac{z + 3}{1}, \quad s: \begin{cases} x = 1, \\ y = 6 + 4\lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}$$

a)

Calcula el valor de $m$ per tal que es tallin en un punt, [7 punts]

b)

Calcula el punt de tall. [3 punts]

$($ $,$ $,$ $)$

Es disposa de dues urnes: $U_1$ i $U_2$.

A $U_1$ hi ha: 4 bolles vermelles i 5 bolles negres.

A $U_2$ hi ha: 6 bolles vermelles i 3 bolles negres.

A l'atzar es treu una bolla de $U_1$ i s'introdueix a $U_2$, a continuació s'extreu a l'atzar una bolla de $U_2$. Calcula la probabilitat que:

a)

surti una bolla vermella de $U_2$ [3 punts]

b)

la bolla extreta de $U_1$ sigui negra, sabent que la bolla que ha sortit de $U_2$ també ha estat negra. [3 punts]

c)

surti almenys una bolla vermella. [4 punts]

8. Una companyia aèria ha observat que els pesos de les maletes d'un determinat trajecte segueixen una distribució normal de mitjana 7,5 kg i desviació típica de 0,4 kg. Calcula la probabilitat que, escollida una maleta a l'atzar:

(a)

pesi menys de 7,2 kg però més de 7 kg. (4 punts)

(b)

pesi entre 7,8 kg i 8 kg. (3 punts)

(c)

Si en un trajecte hi ha 90 maletes, quantes maletes és d'esperar que pesin almenys 8,1 kg? (3 punts)