Examen de Matemáticas II PAU Baleares 2023 · Ordinaria

P1. — Considera la matriu $M$ i el vector $\mathbf{b}$,

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\ a+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{i}\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},$$

respectivament.

(a)

[3 punts] Indica per a quins valors de $a$ la matriu $M$ és invertible.

(b)

[3 punts] Calcula, per a tots els valors de $a$ que sigui possible, la inversa de $M$.

(c)

[4 punts] Calcula, per al cas $a = 0$, el vector $\mathbf{x}$ tal que $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$.

$x =$

$y =$

$z =$

P2. — Considera les matrius

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{i} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},$$

i sigui $O$ la matriu nul·la d'ordre $2 \times 2$.

(a)

[4 punts] Calcula totes les matrius $X$ tals que $AX - X = B$.

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

(b)

[3 punts] Troba una matriu $Y$ diferent de $O$ tal que $(A - B)Y = O$.

$Y = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

(c)

[3 punts] Indica totes les matrius $Z$ que compleixen la igualtat $AZ = O$.

$Z =$

P3. — Considera el pla $\pi: 2x + 3y + z - 6 = 0$.

(a)

[3 punts] Determina els vèrtexs del triangle que ve determinat per la intersecció del pla amb els eixos de coordenades.

,

,

$)$

,

,

$)$

,

,

$)$

(b)

[3 punts] Calcula l'àrea del triangle anterior.

(c)

[4 punts] Sigui $A$ el vèrtex del triangle sobre l'eix d'abscisses (eix $OX$). Calcula la recta perpendicular al pla que passa per $A$.

Siguin $a$ i $b$ dues constants reals no nul·les. Considerem el pla $\pi: x + ay - 2z = 3$ i la recta

$$r: \begin{cases} x + bz = 1 \\ y = 0 \end{cases}$$

(a)

[4 punts] Per a quins valors de $a$ i $b$ la recta $r$ és perpendicular al pla $\pi$? Per a aquests casos concrets, calcula el punt de tall entre $r$ i $\pi$, i calcula o justifica quina és la distància de la recta al pla.

(b)

[3 punts] Per a quins valors de $a$ i $b$ la recta $r$ és paral·lela al pla $\pi$?

(i qualsevol $a \neq 0$)

(c)

[3 punts] Existeixen alguns valors de $a$ i $b$ per als quals la recta $r$ està continguda en el pla $\pi$? Justifica la resposta.

Sí

No

P5. — La quantitat de tones d'aigua infectada per un bacteri s'espera que segueixi la funció $f(x) = e^{-x} + 0.15x + 1$ sent $x \ge 0$ els dies d'infecció i $f(x)$ les tones d'aigua infectada.

(a)

[4 punts] Quantes tones d'aigua hi havia inicialment infectades pel bacteri? Cap a quin valor tendeix la quantitat d'aigua infectada? Interpreta els resultats.

(b)

[4 punts] En quin moment hi ha menys quantitat d'aigua infectada? Quantes tones hi ha en aquell moment?

(c)

[2 punts] Hi ha algun moment en què l'aigua no estigui infectada? Justifica la resposta.

Sí

No

[10 punts] Representa la regió compresa entre la corba $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$, l'eix d'abscisses (eix $OX$) i les rectes $x = 0$ i $x = 7$. Calcula'n l'àrea.

(a)

Representació gràfica de la regió:

(b)

Un espai mostral conté dos successos $A$ i $B$. Sabent que $P(A \cap B) = 0.3$, $P(A/B) = P(B/A)$ i $P(A^c) = 0.4$ (sent $A^c$ el succés complementari), calcula:

(a)

(b)

(c)

(d)

[2 punts] Són $A$ i $B$ successos independents?

Sí

No

P8. — El pes dels nadons segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 3.1\text{ kg}$ i desviació típica $\sigma$ desconeguda. Se sap que només el $30.5\%$ dels nadons pesa més de $3.8\text{ kg}$. Calcula, arrodonint els resultats a 4 decimals,

(a)

[4 punts] Quina és la desviació típica?

(b)

[3 punts] Suposant que $\sigma = 1.3725$, quina és la probabilitat que un nadó pesi menys de $2.7\text{ kg}$?

(c)

[3 punts] Suposant que $\sigma = 1.3725$, quina és la probabilitat que un nadó pesi entre $2.7$ i $3.5\text{ kg}$?