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Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2019 · Reserva A

Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de Selectividad de Andalucía (PAU/PEvAU) 2019, Reserva A: 4 problemas con solución. Gratis.

Temas del examen: Números y Álgebra · Análisis · Probabilidad · Inferencia y Muestreo

Opción A - Ejercicio 1 · Números y Álgebra

EJERCICIO 1

(1 punto) Se considera el recinto cuadrado de vértices $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(-1, 0)$ y $(0, -1)$ .

Indique en qué puntos del recinto se alcanzan el valor máximo de la función $F(x, y) = 3x + 2y + 7$ y el valor mínimo de la función $G(x, y) = x + y + 6$ , calculando dichos valores.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

(1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $(A - A^t) \cdot X = B$ , siendo $A$ y $B$ las matrices:

$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$X = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

Opción A - Ejercicio 2 · Análisis

EJERCICIO 2

Sea la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ .

[0.8 puntos] Halle $a$ y $b$ de forma que $f$ tenga un extremo relativo en $x = 1$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ tenga pendiente $m = -1$ .

[1.7 puntos] Para $a = -1$ y $b = -1$ , estudie la monotonía y la curvatura de la función $f$ .

Opción A - Ejercicio 3 · Probabilidad

EJERCICIO 3

Una cooperativa envasa zumos de naranja, zumos de piña y zumos de melocotón en botellas de 1 litro y de 2 litros. Se sabe que el $60\%$ de las botellas son de zumo de naranja y el $30\%$ de piña. Además, el $80\%$ de las botellas de zumo de naranja y el $70\%$ de las de zumo de piña son de 2 litros, mientras que el $60\%$ de las de melocotón son botellas de 1 litro. Se elige al azar una botella envasada por la cooperativa.

[1 punto] Calcule la probabilidad de que la botella sea de 2 litros.

[0.75 puntos] Calcule la probabilidad de que el zumo sea de naranja, sabiendo que la botella es de 2 litros.

[0.75 puntos] Calcule la probabilidad de que el zumo sea de melocotón, sabiendo que la botella es de 1 litro.

Opción A - Ejercicio 4 · Inferencia y Muestreo

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

z · 0.00 · 0.01 · 0.02 · 0.03 · 0.04 · 0.05 · 0.06 · 0.07 · 0.08 · 0.09

0.0 · 0.5000 · 0.5040 · 0.5080 · 0.5120 · 0.5160 · 0.5199 · 0.5239 · 0.5279 · 0.5319 · 0.5359

0.1 · 0.5398 · 0.5438 · 0.5478 · 0.5517 · 0.5557 · 0.5596 · 0.5636 · 0.5675 · 0.5714 · 0.5753

0.2 · 0.5793 · 0.5832 · 0.5871 · 0.5910 · 0.5948 · 0.5987 · 0.6026 · 0.6064 · 0.6103 · 0.6141

0.3 · 0.6179 · 0.6217 · 0.6255 · 0.6293 · 0.6331 · 0.6368 · 0.6406 · 0.6443 · 0.6480 · 0.6517

0.4 · 0.6554 · 0.6591 · 0.6628 · 0.6664 · 0.6700 · 0.6736 · 0.6772 · 0.6808 · 0.6844 · 0.6879

0.5 · 0.6915 · 0.6950 · 0.6985 · 0.7019 · 0.7054 · 0.7088 · 0.7123 · 0.7157 · 0.7190 · 0.7224

0.6 · 0.7257 · 0.7291 · 0.7324 · 0.7357 · 0.7389 · 0.7422 · 0.7454 · 0.7486 · 0.7517 · 0.7549

0.7 · 0.7580 · 0.7611 · 0.7642 · 0.7673 · 0.7704 · 0.7734 · 0.7764 · 0.7794 · 0.7823 · 0.7852

0.8 · 0.7881 · 0.7910 · 0.7939 · 0.7967 · 0.7995 · 0.8023 · 0.8051 · 0.8078 · 0.8106 · 0.8133

0.9 · 0.8159 · 0.8186 · 0.8212 · 0.8238 · 0.8264 · 0.8289 · 0.8315 · 0.8340 · 0.8365 · 0.8389

1.0 · 0.8413 · 0.8438 · 0.8461 · 0.8485 · 0.8508 · 0.8531 · 0.8554 · 0.8577 · 0.8599 · 0.8621

1.1 · 0.8643 · 0.8665 · 0.8686 · 0.8708 · 0.8729 · 0.8749 · 0.8770 · 0.8790 · 0.8810 · 0.8830

1.2 · 0.8849 · 0.8869 · 0.8888 · 0.8907 · 0.8925 · 0.8944 · 0.8962 · 0.8980 · 0.8997 · 0.9015

1.3 · 0.9032 · 0.9049 · 0.9066 · 0.9082 · 0.9099 · 0.9115 · 0.9131 · 0.9147 · 0.9162 · 0.9177

1.4 · 0.9192 · 0.9207 · 0.9222 · 0.9236 · 0.9251 · 0.9265 · 0.9279 · 0.9292 · 0.9306 · 0.9319

1.5 · 0.9332 · 0.9345 · 0.9357 · 0.9370 · 0.9382 · 0.9394 · 0.9406 · 0.9418 · 0.9429 · 0.9441

1.6 · 0.9452 · 0.9463 · 0.9474 · 0.9484 · 0.9495 · 0.9505 · 0.9515 · 0.9525 · 0.9535 · 0.9545

1.7 · 0.9554 · 0.9564 · 0.9573 · 0.9582 · 0.9591 · 0.9599 · 0.9608 · 0.9616 · 0.9625 · 0.9633

1.8 · 0.9641 · 0.9649 · 0.9656 · 0.9664 · 0.9671 · 0.9678 · 0.9686 · 0.9693 · 0.9699 · 0.9706

1.9 · 0.9713 · 0.9719 · 0.9726 · 0.9732 · 0.9738 · 0.9744 · 0.9750 · 0.9756 · 0.9761 · 0.9767

2.0 · 0.9772 · 0.9778 · 0.9783 · 0.9788 · 0.9793 · 0.9798 · 0.9803 · 0.9808 · 0.9812 · 0.9817

2.1 · 0.9821 · 0.9826 · 0.9830 · 0.9834 · 0.9838 · 0.9842 · 0.9846 · 0.9850 · 0.9854 · 0.9857

2.2 · 0.9861 · 0.9864 · 0.9868 · 0.9871 · 0.9875 · 0.9878 · 0.9881 · 0.9884 · 0.9887 · 0.9890

2.3 · 0.9893 · 0.9896 · 0.9898 · 0.9901 · 0.9904 · 0.9906 · 0.9909 · 0.9911 · 0.9913 · 0.9916

2.4 · 0.9918 · 0.9920 · 0.9922 · 0.9925 · 0.9927 · 0.9929 · 0.9931 · 0.9932 · 0.9934 · 0.9936

2.5 · 0.9938 · 0.9940 · 0.9941 · 0.9943 · 0.9945 · 0.9946 · 0.9948 · 0.9949 · 0.9951 · 0.9952

2.6 · 0.9953 · 0.9955 · 0.9956 · 0.9957 · 0.9959 · 0.9960 · 0.9961 · 0.9962 · 0.9963 · 0.9964

2.7 · 0.99653 · 0.99664 · 0.99674 · 0.99683 · 0.99693 · 0.99702 · 0.99711 · 0.99720 · 0.99728 · 0.99736

2.8 · 0.99744 · 0.99752 · 0.99760 · 0.99767 · 0.99774 · 0.99781 · 0.99788 · 0.99795 · 0.99801 · 0.99807

2.9 · 0.99813 · 0.99819 · 0.99825 · 0.99831 · 0.99836 · 0.99841 · 0.99846 · 0.99851 · 0.99856 · 0.99861

3.0 · 0.99865 · 0.99869 · 0.99874 · 0.99878 · 0.99882 · 0.99886 · 0.99889 · 0.99893 · 0.99896 · 0.99900

3.1 · 0.99903 · 0.99906 · 0.99910 · 0.99913 · 0.99916 · 0.99918 · 0.99921 · 0.99924 · 0.99926 · 0.99929

3.2 · 0.99931 · 0.99934 · 0.99936 · 0.99938 · 0.99940 · 0.99942 · 0.99944 · 0.99946 · 0.99948 · 0.99950

3.3 · 0.99952 · 0.99953 · 0.99955 · 0.99957 · 0.99958 · 0.99960 · 0.99961 · 0.99962 · 0.99964 · 0.99965

3.4 · 0.99966 · 0.99968 · 0.99969 · 0.99970 · 0.99971 · 0.99972 · 0.99973 · 0.99974 · 0.99975 · 0.99976

3.5 · 0.99977 · 0.99978 · 0.99978 · 0.99979 · 0.9980 · 0.99981 · 0.99981 · 0.99982 · 0.99983 · 0.99983

3.6 · 0.99984 · 0.99985 · 0.99985 · 0.99986 · 0.99986 · 0.99987 · 0.99987 · 0.99988 · 0.99988 · 0.99989

3.7 · 0.99989 · 0.99990 · 0.99990 · 0.99990 · 0.99991 · 0.99991 · 0.99992 · 0.99992 · 0.99992 · 0.99992

3.8 · 0.99993 · 0.99993 · 0.99993 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99994 · 0.99995 · 0.99995 · 0.99995

3.9 · 0.99995 · 0.99995 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99996 · 0.99997 · 0.99997

4.0 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99997 · 0.99998 · 0.99998 · 0.99998 · 0.99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z, con distribución N(0,1), esté por debajo del valor z.

Para estimar la proporción de empleados de una empresa que usan lentillas, se toma una muestra al azar de 60 empleados de la misma y se observa que 16 usan lentillas.

(1.5 puntos) Halle, con un nivel de confianza del 90 %, un intervalo para estimar la proporción.

(1 punto) Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior y manteniendo la misma proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido en la estimación de la proporción sea inferior a 0.1.

Opción B - Ejercicio 1 · Números y Álgebra

EJERCICIO 1

Se consideran las matrices

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad

B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

(1.5 puntos) ¿Tiene inversa la matriz $A \cdot B - C$ ? Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, calcule $(A \cdot B - C)^{-1}$ .

Sí

$\begin{pmatrix}

\text{fila 1:} & a_{11} = & a_{12} = \\

\text{fila 2:} & a_{21} = & a_{22} =

\end{pmatrix}$

Fila 1:

Fila 2:

(1 punto) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot B \cdot X - C \cdot X = C^t$ .

Fila 1:

Fila 2:

Opción B - Ejercicio 2 · Análisis

Unos productores de cereales realizan un estudio para conocer la posible demanda de su producto. Concluyen que la función de demanda de dichos cereales tiene la forma $D(x) = -200\,x^3 + 2\,100\,x^2 - 7\,200\,x + 10\,000$ , para $0 \le x \le 4$ , donde $x$ es el precio en euros por kilogramo de producto y $D(x)$ es la cantidad de kilogramos de cereales que los consumidores están dispuestos a comprar a dicho precio $x$ .

[0.5 puntos] ¿Cuál es la cantidad de cereales demandada si el precio es de $0.50$ euros por kilogramo?

[2 puntos] Calcule para qué precio se alcanza una demanda mínima del producto y determine dicha demanda.

Opción B - Ejercicio 3 · Probabilidad

EJERCICIO 3

Una determinada enfermedad puede estar provocada por una sola de las causas, A, B o C. En el $35\,\%$ de los casos está provocada por A, en el $40\,\%$ por B y en el $25\,\%$ por C.

Se sabe que el tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el $15\,\%$ de los casos si está provocada por A, en el $45\,\%$ si está provocada por B y en un $20\,\%$ si está provocada por C. Se elige al azar una persona afectada por esa enfermedad.

(1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que necesite hospitalización?

(1 punto) Si no necesita hospitalización, ¿cuál es la probabilidad de que la causa de la enfermedad sea C?

Opción B - Ejercicio 4 · Inferencia y Muestreo