Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Andalucía 2019 · Ordinaria Suplente

OPCIÓN A

EJERCICIO 1

Consideremos el recinto definido por las siguientes desigualdades:

$$7y \le 15 + 3x \qquad y \ge x - 3 \qquad 3y \ge -x + 11$$

a)

(2 puntos) Represente gráficamente el recinto anterior y calcule sus vértices.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

b)

(0.5 puntos) Calcule en qué puntos se alcanzan los valores máximo y mínimo de la función $H(x, y) = 4x - y - 16$ restringida al anterior recinto y obtenga dichos valores.

Punto: $($

$,$

$)$   Valor mínimo: $H =$

Punto: $($

$,$

$)$   Valor máximo: $H =$

EJERCICIO 2

a)

[1 punto] Calcule la derivada de las siguientes funciones:

$$f(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \qquad g(x) = (x^2 + 1)^2 \cdot e^{2x-1}$$

b)

[1.5 puntos] Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = x^2 - 6x + 8$ en el punto de abscisa $x = 4$. Represente gráficamente la función $h$ y la recta tangente hallada.

OPCIÓN A

EJERCICIO 3

El 17% de la población adulta de una ciudad sigue una dieta de adelgazamiento y practica algún deporte regularmente. El 58% ni sigue una dieta de adelgazamiento ni hace deporte regularmente. Además, se sabe que de los que hacen deporte regularmente, el 50% hace dieta de adelgazamiento. Se elige al azar un adulto de esa población.

a)

(1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que siga una dieta de adelgazamiento o que practique deporte regularmente?

b)

(1 punto) Si el individuo elegido sigue una dieta de adelgazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que practique deporte con regularidad?

c)

(0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "Seguir una dieta de adelgazamiento" y "Practicar algún deporte regularmente"?

Sí

No

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución $N(0,1)$, esté por debajo del valor $z$.

EJERCICIO 4

La cantidad de azúcar que añade un fabricante de refrescos a sus productos sigue una ley Normal cuya varianza es $225\text{ mg}^2$. Se ha seleccionado al azar una muestra de $25$ refrescos de ese fabricante, en la que se ha obtenido una media de $175\text{ mg}$ de azúcar añadido por refresco.

a)

[1.5 puntos] Determine un intervalo de confianza al $90\%$ para la cantidad media de azúcar añadida a cada refresco.

b)

[1 punto] ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el intervalo de confianza correspondiente al $80\%$ tenga una amplitud como máximo de $5\text{ mg}$?

OPCIÓN B - EJERCICIO 1

Se consideran las matrices:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} -2 & 2 \end{pmatrix}$$

a)

[1 punto] Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible:

Operación 1: $A + B \cdot C$

Sí

No

Operación 2: $A \cdot C + B \cdot D^t$

Sí

No

Operación 3: $B^2 + C \cdot D$

Sí

No

Operación 4: $A + D \cdot C$

Sí

No

b)

[1.5 puntos] Resuelva la ecuación matricial $X \cdot (A + I_2) = 3B^t$.

Se considera la función $f(x) = ax^2 + \dfrac{b}{x}$, con $x \neq 0$, siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales.

a)

Determine el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $(1, 3)$.

b)

Para $a = 1$ y $b = 2$, razone si en el punto $(1, 3)$ la función presenta un máximo o un mínimo.

Mínimo

Máximo

c)

Calcule $\displaystyle \int \left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right) dx$.

EJERCICIO 3

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio dado. Se sabe que $P(A) = 0.5$, $P(A \cup B) = 0.75$ y $P(A - B) = 0.3$.

a)

(0.5 puntos) Calcule $P(A \cap B)$.

b)

(1 punto) Calcule $P(A/B^c)$.

c)

(1 punto) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? ¿Son los sucesos $A$ y $B$ incompatibles? Justifique las respuestas.

Sí

No

Sí

No

EJERCICIO 4

La Consejería de Educación elige una muestra de $5\,000$ estudiantes de 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales y los encuesta para conocer la opinión que tienen sobre la elección de cierta materia entre las optativas para cursar 2º de Bachillerato. El resultado de la encuesta revela que $2\,250$ estudiantes piensan elegir dicha materia optativa.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1)

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria $Z$, con distribución $N(0,1)$, esté por debajo del valor $z$.

a)

(1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza al $97.5\,\%$ para estimar la proporción de estudiantes que piensan elegir esa materia optativa.

(,)

b)

(1 punto) Si en otra muestra la proporción de estudiantes que piensa elegir esa materia es de $0.5$ y el error cometido en la estimación ha sido inferior a $0.03$ con un nivel de confianza del $92.5\,\%$, calcule el tamaño muestral mínimo de esa muestra.