Examen de Matemáticas UDG 2017 · PA3 de Matemàtiques (Febrer 2017)

Pregunta 1 (1 punt). Valor mitjà d'una funció exponencial

Determineu el valor mitjà $\bar{f}$ de la funció $f(x) = 1000\,e^{-3x}$ en l'interval $[1, 3]$:

Pregunta 2 (1 punt). Màxim d'abundància i paràmetre de decreixement

L'abundància d'una determinada espècie d'insectes segons l'altitud en zones de muntanya segueix el model:

$$A(x) = (0{,}02x - 1)e^{-kx} + 5$$

on $x$ és l'altitud de l'hàbitat (entre $100\text{ m}$ i $4000\text{ m}$) i $k > 0$ és un paràmetre constant. Si l'abundància màxima s'assoleix a una cota de $x = 1800\text{ m}$, quin és el valor de $k$?

Pregunta 3 (1 punt). Variació de taxes en creixement circular

El bacteri Xylella fastidiosa s'estén de forma circular en un camp d'oliveres. En l'instant en què es detecta, el radi d'afectació és de 20 metres i la superfície afectada creix a un ritme de $2\text{ m}^2/\text{hora}$. A quina velocitat augmenta el perímetre del front d'infecció en aquest mateix moment? (Preneu $A = \pi \cdot r^2$, $P = 2\pi \cdot r$).

Pregunta 4 (1 punt). PVI d'equació diferencial separable

Considereu el problema de valor inicial següent: $$\frac{dx}{dt} = -x + x\cos(t), \quad x(0) = 10$$ Resoleu-lo mitjançant el mètode de separació de variables i trobeu el valor de la solució a l'instant $t = 2$.

Pregunta 5 (1 punt). PVI d'equació diferencial lineal

Trobeu la solució del problema de valor inicial per a l'equació diferencial lineal: $$\frac{dx}{dt} = 2x + e^{-t}, \quad x(0) = \frac{2}{3}$$ A quin valor correspon $x(1)$?

Pregunta 6 (1 punt). Model de refredament de Newton

S'escalfa una proveta fins a $90\ ^\circ\mathrm{C}$ i a continuació es deixa refredar en una cambra a temperatura constant de $21\ ^\circ\mathrm{C}$. Si després de $10\text{ minuts}$ la proveta ha assolit els $45\ ^\circ\mathrm{C}$, quant de temps trigarà en total a refredar-se fins als $25\ ^\circ\mathrm{C}$?

Pregunta 7 (1 punt). Problema de mescles amb volum constant

Un dipòsit conté inicialment 1000 litres d'aigua amb 150 grams de sal dissolta. S'hi introdueix un cabal constant de 12 L/min d'aigua amb una concentració de 0.1 g/L de sal, i en surt barreja ben agitada al mateix ritme de 12 L/min. Quina quantitat de sal restarà al dipòsit un cop transcorregudes 3 hores?

Pregunta 8 (1 punt). Problema de mescles amb volum variable

Un dipòsit conté inicialment 1000 litres d'aigua amb 150 grams de sal dissolta. Hi entra una solució amb concentració de 0.3 g/L a un cabal de 13 L/min, i en surt dissolució a raó de 17 L/min. Quina quantitat de sal i quin volum hi haurà al dipòsit després de 2 hores?

Pregunta 9 (1 punt). Equilibris i estabilitat en model epidèmic

La fracció d'individus infectats $x(t)$ (amb $0 \le x(t) \le 1$) evoluciona segons el model:$$\frac{dx}{dt} = b(1 - x)x - cx$$on $b > 0$ és la taxa de transmissió i $c > 0$ la de recuperació. Si $b = 2$ i $c = 2.5$, trobeu els punts d'equilibri biològicament vàlids i analitzeu-ne l'estabilitat.

10 Pregunta 10 (1 punt). Integració numèrica pel mètode del punt mig

Utilitzant l'aproximació de Riemann pel mètode del punt mig:$$\int_a^b f(x)\,dx \simeq \sum_{k=1}^n f(x_k)\,\Delta x$$aproximeu el valor de la integral següent:$$I = 40 \int_0^5 e^{-0.125(x-1)^2}\,dx$$fent servir un pas $\Delta x = 0.5$ i prenent els $n = 10$ punts mitjans dels subintervals de $[0, 5]$.