Examen de Calculo de una Variable UB 2014 · final de Càlcul d'una Variable - Gener 2014

Qüestió 1 (1 punt). Principi d'inducció matemàtica

a.

Enuncieu de manera formal el principi d'inducció matemàtica.

b.

Utilitzant el mètode d'inducció matemàtica, demostreu la següent igualtat per a tot $n \in \mathbb{N}$ (o $n \in \mathbb{Z}^+$):$$\sum_{k=1}^n (-1)^k k(k-1) = \frac{1}{4} [1 - (-1)^n + 2(-1)^n n^2]$$

Qüestió 2 (1 punt). Derivabilitat i continuïtat d'una funció

Consideri's una funció real de variable real $f: [a, b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

a.

Definiu el concepte de derivabilitat de la funció $f(x)$ en un punt interior $c \in (a, b)$.

b.

Demostreu que si $f(x)$ és derivable en $x = c \in (a, b)$, aleshores necessàriament és contínua en aquest mateix punt. És cert el recíproc? Justifiqueu la resposta aportant un contraexemple il·lustratiu.

Sí

No

Qüestió 3 (1 punt). Teorema fonamental del càlcul i càlcul de límit

a.

Sigui $f(x)$ una funció contínua a l'interval $[a, b]$. Si es defineix $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ per a tot $x \in [a, b]$, demostreu directament que $F'(x) = f(x)$ sense utilitzar la regla de Barrow.

b.

Calculeu el següent límit utilitzant el resultat anterior:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\int_{\pi/2}^{\pi/2 + x} e^{\cos(\pi \sin(t))}\,dt}$$

Qüestió 4 (1 punt). Nombres complexos i equació polinòmica

a.

Determineu la part real i la part imaginària del nombre complex:

$$z = \sin(i\operatorname{Log}(2i))$$

b.

Trobeu totes les solucions en el cos dels complexos $\mathbb{C}$ de la següent equació i representeu-les geomètricament al pla complex:

$$z^3 = (-i)^{10} \cdot 27$$

Problema 1 (2 punts). Polinomi de Taylor i estimació d'errors

a.

Sigui $f(x)$ una funció definida a l'interval $(a,b) \subset \mathbb{R}$, $(n+1)$ vegades derivable. Escriviu l'expressió general del polinomi de Taylor d'ordre $n$ de $f(x)$ al voltant d'un punt $x_0 \in (a,b)$, incloent-hi l'expressió del residu corresponent de Lagrange.

b.

Estimeu el valor numèric de $\frac{1}{\sqrt{e}}$ utilitzant els 4 primers termes no nuls del desenvolupament de Taylor de la funció $f(x) = e^{x/2}$ al voltant de $x_0 = 0$. Doneu una fita raonada de l'error absolut comès a partir de l'estudi del residu de Lagrange.

c.

Calculeu el límit:

$$\lim_{x\to \pi} \frac{f(x)}{g(x)h(x)}$$

on:

$$f(x) = \sin(x - \pi), \quad g(x) = \exp(x - \pi), \quad h(x) = \ln(1 + (x - \pi))$$

Considereu la família de funcions definida per:$$f(x) = (x - a)^2 e^{-x}, \quad \text{amb } a, x \in \mathbb{R}$$

a.

Trobeu els màxims relatius, mínims relatius i punts d'inflexió de la funció $f(x)$ en funció del paràmetre $a$.

Considereu la família de funcions definida per:$$f(x) = (x - a)^2 e^{-x}, \quad \text{amb } a, x \in \mathbb{R}$$

b.

Calculeu una primitiva de la funció $f(x)$.

Considereu la família de funcions definida per:$$f(x) = (x - a)^2 e^{-x}, \quad \text{amb } a, x \in \mathbb{R}$$

c)

Calculeu el valor de la integral impròpia $I(a) = \int_0^\infty f(x)\,dx$.

d)

Determineu per a quin valor del paràmetre $a$ la funció $I(a)$ assoleix el seu valor mínim absolut.

Donades les següents equacions de dues còniques:

$2y^2 = x, \quad x^2 - 4x + 4y^2 = 0$

a)

Identifiqueu la corba corresponent a cadascuna de les equacions, donant els seus paràmetres característics rellevants (vèrtex, focus, eixos o semieixos segons convingui):

Primera cònica: $2y^2 = x$

(,)

(,)

Segona cònica: $x^2 - 4x + 4y^2 = 0$

(,)

b)

Calculeu l'àrea de la regió tancada en el primer quadrant delimitada entre ambdues corbes.

c)

Trobeu el volum del sòlid de revolució generat en fer girar la regió tancada anterior al voltant de l'eix d'abscisses ($OX$).