Ejercicio Qüestió 3 · Calculo de una Variable UB 2014

a. Sigui $f(x)$ una funció contínua a l'interval $[a, b]$. Si es defineix $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ per a tot $x \in [a, b]$, demostreu directament que $F'(x) = f(x)$ sense utilitzar la regla de Barrow.

Solución: Per definició de derivada, tenim: $$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt \right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\,dt$$ Pel teorema del valor mitjà per al càlcul integral, en ser $f$ contínua, existeix algun $c_h$ entre $x$ i $x+h$ tal que: $$\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c_h) \cdot h$$ Substituint en el límit: $$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c_h) \cdot h}{h} = \lim_{h \to 0} f(c_h)$$ Quan $h \to 0$, $c_h \to x$. Atès que $f$ és contínua en $x$, $\lim_{h \to 0} f(c_h) = f(x)$. Per tant, $F'(x) = f(x)$.

b. Calculeu el següent límit utilitzant el resultat anterior: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\int_{\pi/2}^{\pi/2 + x} e^{\cos(\pi \sin(t))}\,dt}$

Solución: $e$