Ejercicio Qüestió 2 · Calculo de una Variable UB 2014

És cert el recíproc? (La continuïtat implica derivabilitat?)

Solución: No

a. Definiu el concepte de derivabilitat de la funció $f(x)$ en un punt interior $c \in (a, b)$.

Solución: Una funció $f$ és derivable en un punt $c \in (a, b)$ si existeix i és finit el límit del quocient incremental: $$f'(c) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$$

b. Demostreu que si $f(x)$ és derivable en $x = c \in (a, b)$, aleshores necessàriament és contínua en aquest mateix punt. És cert el recíproc? Justifiqueu la resposta aportant un contraexemple il·lustratiu.

Solución: Demostració de «derivable implica contínua»: Suposem que $f$ és derivable en $x = c$, és a dir, existeix el valor finit $f'(c)$. Calculem el límit de la diferència $f(x) - f(c)$ quan $x \to c$: $$\lim_{x \to c} [f(x) - f(c)] = \lim_{x \to c} \left[ \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \cdot (x - c) \right] = \left( \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \right) \cdot \left( \lim_{x \to c} (x - c) \right) = f'(c) \cdot 0 = 0$$ Com que $\lim_{x \to c}[f(x) - f(c)] = 0$, es dedueix que $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$, la qual cosa constitueix exactament la definició de continuïtat en $x = c$. Recíproc: L'afirmació recíproca no és certa: la continuïtat no implica derivabilitat. Exemple: La funció valor absolut $f(x) = |x|$ és contínua en $x = 0$ perquè $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$. Tanmateix, no és derivable a l'origen atès que les derivades laterals no coincideixen: $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x - 0} = 1, \quad f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x - 0}{x - 0} = -1$$ Com que $f'_+(0) \neq f'_-(0)$, no existeix $f'(0)$.