Examen de Calculo de una Variable UB 2014 · Juny

Qüestió 1 [1 punt]. Principi d'inducció matemàtica i divisibilitat

a.

Enuncieu el principi d'inducció matemàtica.

b.

Empreu el principi d'inducció per demostrar que:

$$n^3 + 2n \text{ és divisible per } 3, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+$$

Qüestió 2 [1 punt]. Cònica i elements característics

Classifiqueu la cònica descrita per la següent equació de segon grau, determineu els seus elements principals (centre, vèrtexs, focus i excentricitat) i traceu-ne la gràfica aproximada:

$$4x^2 + y^2 - 16x - 2y = -16$$

1.

2.

$x =$, $y =$

3.

$a =$, $b =$

4.

5.

6.

Qüestió 3 [1 punt]. Anàlisi de límit i regla de L'Hôpital

Considereu el següent límit:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - x^2}{\cos x + x^2}$$

a.

Comproveu que la regla de L'Hôpital no és aplicable per calcular el límit. Justifiqueu el motiu pel qual falla:

b.

Determineu el valor d'aquest límit mitjançant un procediment alternatiu:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - x^2}{\cos x + x^2} =$

Qüestió 4 [1 punt]. Equacions en el pla complex

Trobeu tots els nombres complexos $z \in \mathbb{C}$ que compleixen cadascuna de les equacions següents:

a.

$$z^3 = i\pi$$

b.

$$\sin z = \frac{3}{4}i$$

Problema 1 (2 punts). Optimització del volum d'un cilindre inscrit en una esfera

Considereu una esfera de radi fix $R$. Es vol trobar l'alçada $h$ d'un cilindre circular recte de volum màxim que es pugui inscriure en aquesta esfera.

a.

Expliciteu el volum $V$ del cilindre inscrit en funció de l'alçada $h$ i del radi esfèric $R$.

b.

Trobeu el valor d'h que maximitza el volum $V$, expressat en termes de $R$.

c.

Calculeu el valor del volum màxim en funció de $R$.

d.

Comproveu formalment que la solució obtinguda correspon efectivament a un màxim.

Considereu la funció $f(x) = x \cos(x/b)$ per a $x \in [-b\pi, b\pi]$, amb $b > 0$ una constant real.

a)

Sigui $g(x)$ una funció definida en un interval obert $(a, b) \subset \mathbb{R}$ i suposem que és $(n + 1)$ vegades derivable en aquest interval. Escriviu la fórmula del polinomi de Taylor d'ordre $n$ de $g(x)$ centrat en un punt $x_0 \in (a, b)$, incloent-hi l'expressió del terme complementari (residu de Lagrange).

b.d)

Trobeu el polinomi de Taylor de primer grau de $f(x)$ centrat a $x_0 = 0$ amb el seu residu associat.

Considereu la funció $f(x) = x \cos(x/b)$ per a $x \in [-b\pi, b\pi]$, amb $b > 0$ una constant real.

b.a)

Descriviu i representeu gràficament de forma aproximada el comportament de $f(x)$.

Considereu la funció $f(x) = x \cos(x/b)$ per a $x \in [-b\pi, b\pi]$, amb $b > 0$ una constant real.

b.b)

Calculeu la primitiva $\int f(x)\, dx$.

b.c)

Determineu l'àrea total de la regió compresa entre la gràfica de $f(x)$ i l'eix d'abscisses en l'interval $[-b\pi, b\pi]$.

Problema 3. Sòlid de revolució d'una paràbola: volum i superfície

Sigui la funció $f(x) = +\sqrt{ax}$ per a $x \in [0, l]$, amb $a > 0$ i $l > 0$.

a)

Identifiqueu la corba que representa $f(x)$ i descriviu-ne el traçat aproximat.

b)

En fer girar $f(x)$ al voltant de l'eix $x$ es genera un cos anomenat paraboloide de revolució. Calculeu el volum que tanca aquest sòlid entre $x = 0$ i $x = l$.

c)

Calculeu l'àrea de la superfície lateral d'aquest cos.

(Recordeu: L'àrea lateral d'una superfície de revolució generada en girar $f(x)$ al voltant de l'eix $x$ entre $x = a$ i $x = b$ ve donada per $S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$).

d)

Determineu l'àrea total del sòlid de revolució, incloent-hi la base circular situada al pla $x = l$.