Problema 1 · Calculo de una Variable UB 2014

Problema 1 (2 punts). Polinomi de Taylor i estimació d'errors

a.

Sigui $f(x)$ una funció definida a l'interval $(a,b) \subset \mathbb{R}$, $(n+1)$ vegades derivable. Escriviu l'expressió general del polinomi de Taylor d'ordre $n$ de $f(x)$ al voltant d'un punt $x_0 \in (a,b)$, incloent-hi l'expressió del residu corresponent de Lagrange.

b.

Estimeu el valor numèric de $\frac{1}{\sqrt{e}}$ utilitzant els 4 primers termes no nuls del desenvolupament de Taylor de la funció $f(x) = e^{x/2}$ al voltant de $x_0 = 0$. Doneu una fita raonada de l'error absolut comès a partir de l'estudi del residu de Lagrange.

c.

Calculeu el límit:

$$\lim_{x\to \pi} \frac{f(x)}{g(x)h(x)}$$

on:

$$f(x) = \sin(x - \pi), \quad g(x) = \exp(x - \pi), \quad h(x) = \ln(1 + (x - \pi))$$