Ejercicio Qüestió 1 · Calculo de una Variable UB 2014

a. Enuncieu de manera formal el principi d'inducció matemàtica.

Solución: Sigui $P(n)$ una propietat definida per a cada nombre natural $n \geq n_0$. Si es compleix que: - Cas base: $P(n_0)$ és vertadera. - Pas inductiu: Suposant que $P(n)$ és certa (hipòtesi d'inducció), es demostra que $P(n+1)$ també és certa. Aleshores, $P(n)$ és vertadera per a tot $n \geq n_0$.

b. Utilitzant el mètode d'inducció matemàtica, demostreu la següent igualtat per a tot $n \in \mathbb{N}$ (o $n \in \mathbb{Z}^+$): $\sum_{k=1}^n (-1)^k k(k-1) = \frac{1}{4} [1 - (-1)^n + 2(-1)^n n^2]$

Solución: 1) Cas base ($n=1$): Costat esquerre: $(-1)^1 \cdot 1 \cdot (1 - 1) = 0$. Costat dret: $\frac{1}{4} [1 - (-1)^1 + 2(-1)^1(1)^2] = \frac{1}{4}[1 - (-1) - 2] = \frac{1}{4}[1 + 1 - 2] = 0$. La igualtat es compleix per a $n = 1$. 2) Hipòtesi d'inducció (HI): Suposem certa la igualtat per a $n$: $$\sum_{k=1}^n (-1)^k k(k-1) = \frac{1}{4} [1 - (-1)^n + 2(-1)^n n^2]$$ 3) Pas inductiu ($n+1$): Volem demostrar que: $$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k k(k-1) = \frac{1}{4} [1 - (-1)^{n+1} + 2(-1)^{n+1}(n+1)^2]$$ Descomponem el sumatori: $$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k k(k-1) = \sum_{k=1}^n (-1)^k k(k-1) + (-1)^{n+1}(n+1)n$$ Aplicant la hipòtesi d'inducció i traient factor comú $\frac{1}{4}$: $$= \frac{1}{4} [1 - (-1)^n + 2(-1)^n n^2 + 4(-1)^{n+1}(n^2+n)]$$ Com que $(-1)^n = -(-1)^{n+1}$, tenim: $$-(-1)^n = +(-1)^{n+1}, \quad 2(-1)^n n^2 = -2(-1)^{n+1}n^2$$ Substituint: $$= \frac{1}{4} [1 + (-1)^{n+1} - 2(-1)^{n+1}n^2 + 4(-1)^{n+1}(n^2+n)]$$ $$= \frac{1}{4} [1 - (-1)^{n+1} + 2(-1)^{n+1} + 2(-1)^{n+1}(-n^2 + 2n^2 + 2n)]$$ $$= \frac{1}{4} [1 - (-1)^{n+1} + 2(-1)^{n+1}(n^2 + 2n + 1)] = \frac{1}{4} [1 - (-1)^{n+1} + 2(-1)^{n+1}(n+1)^2]$$ Per tant, queda demostrat per a $n+1$ i la propietat és vàlida per a tot $n \in \mathbb{N}$.