Examen de Matematiques Iii UPF 2018 · recuperació de Matemàtiques II (curs 2018-19)

Exercici 1 [8 punts]. Funció homogènia i teorema d'Euler

Se sap que una funció real de dues variables $f(x, y)$ és homogènia de grau 2. A més, es coneix que el punt $(1, 3)$ pertany a la corba de nivell 5 de dita funció i que es compleix la relació $f'_x(1, 3) = 2f'_y(1, 3)$. Calculeu el vector gradient de $f$ al punt $(1, 3)$.

Exercici 2 [8 punts]. Aproximació lineal i diferencial

Donada la funció $f(x, y) = x e^{y/x}$:

a.

Determineu per a quins punts $(a,b)$ la seva aproximació lineal és exactament $f(x,y) \approx x + y$.

$(a, b) = ($

$,$

$)$ amb condició $a$:

b.

Empreu el resultat obtingut per calcular de forma aproximada el valor de $f(a + 0.2, b - 0.1)$ en aquests punts.

Exercici 3 [8 punts]. Gradient i regla de la cadena

Sigui $f$ una funció d'una variable derivable, que compleix $f'(t) \neq 0$ per a tot $t$. Definim la funció de dues variables:

$$G(x,y) = f\left(e^{x^2 + y^3}\right)$$

Demostreu que, per a qualsevol valor $a \neq 0$, el gradient de $G$ en un punt de la forma $(a^2, a)$ és perpendicular al vector $(3, -2)$.

$($

$,$

$)$

Exercici 4 (8 punts). Òptims globals amb restriccions de desigualtat

Trobeu, de manera degudament justificada, els extrems globals de la funció$$f(x, y) = x + y^2$$definida sobre el conjunt compacte $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0, x^2 + y^2 \le 1\}$.

Exercici 5 (8 punts). Optimització condicionada i multiplicadors de Lagrange

Una empresa desitja minimitzar els seus costos de producció, que depenen de les quantitats produïdes de dos béns segons la funció:$$C(x, y) = ax^2 + 2by^2$$on $x$ i $y$ són les unitats produïdes, i $a, b$ són paràmetres positius ($a > 0, b > 0$). El nivell de producció conjunt està sotmès a la restricció:$$Q(x, y) = ax + by = K, \quad \text{amb } K > 0$$D'altra banda, s'estima que si l'empresa incrementa la seva producció en $0.1$ unitats (és a dir, $Q(x, y) = ax + by = K + 0.1$), els seus costos mínims patiran un increment aproximat de $2$ unitats respecte als costos inicials.

Calculeu quantes unitats de $x$ i de $y$ minimitzen els costos i quin és el valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$.

Exercici 6 (15 punts). Geometria analítica a $\mathbb{R}^3$

Es considera el pla $\pi$ determinat per l'equació $2x + y - z = 6$.

a)

Trobeu l'equació vectorial de la recta $r$ que és perpendicular a $\pi$ i que talla el pla en un punt de la forma $(1, 1, k)$. Trobeu també el valor del paràmetre $k$.

b)

Trobeu l'equació vectorial de la recta $s$ que és paral·lela a $r$ i que passa pel punt $(0, 0, -6)$, i escriviu-la com a intersecció de dos plans.

c)

Trobeu l'equació general del pla que conté simultàniament les rectes $r$ i $s$.

La corba expressada per l'equació $9xy - x^3 - y^3 = 0$ correspon a un «Foli de Descartes». A la figura es mostra la seva representació al primer quadrant, juntament amb la recta $y = x$ i el punt de simetria $P = (4.5, 4.5)$:

a.

Trobeu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt que té coordenada $x = 2$ i el valor de $y$ més gran possible, i comproveu que la seva equació és:

$$y = \frac{4}{5}x + \frac{12}{5}$$

La corba expressada per l'equació $9xy - x^3 - y^3 = 0$ correspon a un «Foli de Descartes». A la figura es mostra la seva representació al primer quadrant, juntament amb la recta $y = x$ i el punt de simetria $P = (4.5, 4.5)$:

b.

Trobeu i descriviu el domini de definició de la funció:

$$f(x, y) = \sqrt{9xy - x^3 - y^3} + \ln(y - x) + \ln(x)$$

c.

Per a quins valors del paràmetre $k$ el domini de la funció

$$g(x, y) = \sqrt{9xy - x^3 - y^3} + \ln(y - x) + \ln(x) + \sqrt{y - \frac{4}{5}x - k}$$

no conté cap punt?

Exercici 8 (15 punts). Convexitat i punts crítics

Considerem la funció $f(x, y) = x^3 + y^3 - axy$, on $a > 0$ és un paràmetre fix.

a)

Trobeu el domini convex més gran on la funció $f$ sigui estrictament convexa en funció del paràmetre $a$.

b)

Trobeu tots els punts estacionaris de $f$ i classifiqueu-los tant localment com globalment respecte al domini trobat a l'apartat anterior.

Exercici 9 (15 punts). Programació lineal i dualitat

La normativa de Fair Play financer imposada a una lliga esportiva estableix les següents condicions per als seus clubs:

Les despeses dels clubs no poden ser superiors a $\alpha$ vegades els seus ingressos.

Els beneficis dels clubs no poden superar una quantitat fixa $K$ (pròpia de cada club) menys $\beta$ vegades les despeses.

on $\alpha > 0$, $\beta > 0$ i $K > 0$ són constants conegudes. Es planteja analitzar quins nivells d'ingressos i despeses maximitzen el benefici del club.

a)

Formuleu el problema d'optimització lineal i les seves restriccions en funció dels paràmetres $\alpha$, $\beta$ i $K$, prenent $x$ com els ingressos, $y$ com les despeses i $B$ com el benefici.

b)

Suposant $\alpha = 1/2$ i $\beta = 2$, calculeu els vèrtexs de la regió factible i resoleu el problema primal en funció de $K$.

c)

Per als mateixos valors de $\alpha$ i $\beta$, plantegeu el problema dual i resoleu-lo emprant les condicions d'holgura complementària (relacions primals-duals), sense fer ús de representació gràfica.