Exercici 5 · Matematiques Iii UPF 2018

Exercici 5 (8 punts). Optimització condicionada i multiplicadors de Lagrange

Una empresa desitja minimitzar els seus costos de producció, que depenen de les quantitats produïdes de dos béns segons la funció:$$C(x, y) = ax^2 + 2by^2$$on $x$ i $y$ són les unitats produïdes, i $a, b$ són paràmetres positius ($a > 0, b > 0$). El nivell de producció conjunt està sotmès a la restricció:$$Q(x, y) = ax + by = K, \quad \text{amb } K > 0$$D'altra banda, s'estima que si l'empresa incrementa la seva producció en $0.1$ unitats (és a dir, $Q(x, y) = ax + by = K + 0.1$), els seus costos mínims patiran un increment aproximat de $2$ unitats respecte als costos inicials.

Calculeu quantes unitats de $x$ i de $y$ minimitzen els costos i quin és el valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$.