Exercici 9 · Matematiques Iii UPF 2018

Exercici 9 (15 punts). Programació lineal i dualitat

La normativa de Fair Play financer imposada a una lliga esportiva estableix les següents condicions per als seus clubs:

Les despeses dels clubs no poden ser superiors a $\alpha$ vegades els seus ingressos.

Els beneficis dels clubs no poden superar una quantitat fixa $K$ (pròpia de cada club) menys $\beta$ vegades les despeses.

on $\alpha > 0$, $\beta > 0$ i $K > 0$ són constants conegudes. Es planteja analitzar quins nivells d'ingressos i despeses maximitzen el benefici del club.

a)

Formuleu el problema d'optimització lineal i les seves restriccions en funció dels paràmetres $\alpha$, $\beta$ i $K$, prenent $x$ com els ingressos, $y$ com les despeses i $B$ com el benefici.

b)

Suposant $\alpha = 1/2$ i $\beta = 2$, calculeu els vèrtexs de la regió factible i resoleu el problema primal en funció de $K$.

c)

Per als mateixos valors de $\alpha$ i $\beta$, plantegeu el problema dual i resoleu-lo emprant les condicions d'holgura complementària (relacions primals-duals), sense fer ús de representació gràfica.