Examen de Matemàtiques Ii UPF 2013 · final de (Març 2013)

Pregunta 1 (10 punts). Geometria analítica a l'espai

Es considera el pla $\pi$ determinat per l'expressió $x + y + z - 1 = 0$. Es demana:

a.

Trobeu les equacions de la recta que resulta perpendicular a $\pi$ i que conté l'origen de coordenades.

b.

Calculeu les coordenades del punt on aquesta recta interseca el pla $\pi$.

(

,

,

)

c.

Determineu l'equació del pla que és paral·lel a $\pi$ i que passa per l'origen.

Pregunta 2 (15 punts). Optimització amb restricció d'igualtat i interpretació del multiplicador

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = x^2 + y^2$.

a.

Determineu els extrems de $f$ sota la restricció $y - x = k$, on $k$ és un paràmetre constant, aplicant el mètode dels multiplicadors de Lagrange. Raoneu el caràcter local o global dels extrems obtinguts.

b.

Representeu les corbes de nivell 1, 2, 3, 4 associades a $f$ conjuntament amb la recta de restricció per al cas particular $k = 2$ (vegeu l'esquema gràfic de recolzament). Deduïu la solució d'aquest cas a partir de la gràfica.

c.

Per al cas general considerat a l'apartat (a), verifiqueu que el multiplicador de Lagrange (preu ombra) satisfà la propietat $\frac{df^*}{dk} = \lambda$, on $f^*(k)$ és el valor òptim de la funció expressat en termes de $k$.

Pregunta 3 (15 punts). Funcions homogènies, teorema d'Euler i rectes tangents

Se sap que la funció $f(x, y) = \frac{x y^a}{\sqrt{x^b + y^2}}$ és homogènia de grau 0.

a.

Trobeu els valors que han de prendre les constants $a$ i $b$, justificant el procediment.

b.

Calculeu l'expressió de la derivada implícita $\frac{dy}{dx}$ sobre una corba de nivell qualsevol de la funció $f$ (podeu emprar el teorema d'Euler).

c.

Determineu les equacions de les rectes tangents a la corba de nivell $f(x, y) = \frac{4}{5}$ en aquells punts on $x = 2$.

Es considera la funció $f(x, y) = y^3 - 3ye^x - e^{3x}$.

Pregunta 4.a. Derivada direccional a l'origen

a.

Calculeu la derivada direccional de $f$ a l'origen de coordenades $(0,0)$ en la direcció establerta pel vector $\vec{v} = (-1, 1)$.

Es considera la funció $f(x, y) = y^3 - 3ye^x - e^{3x}$.

b.

Trobeu els punts estacionaris de la funció i determineu la seva naturalesa (màxims locals, mínims locals o punts de sella).

$($

$,$

$)$

c.

Estudieu si la funció arriba a assolir màxim o mínim globals a tot $\mathbb{R}^2$.

Pregunta 5 (15 punts). Maximització de beneficis en règim de monopoli

Una empresa en situació de monopoli comercialitza dos productes. Les corbes de demanda corresponents a cada bé són $q_1 = 12 - p_1$ i $q_2 = 9 - \sqrt{p_2}$. La funció de costos conjunts és $C(q_1, q_2) = 4q_1 q_2 + 3$. Es demana calcular els nivells de producció i els preus associats que maximitzen el benefici total de la companyia, així com indicar el valor d'aquest benefici màxim.

Es considera la funció $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

a.

Descriviu de forma analítica i gràfica el domini de definició de la funció (vegeu el gràfic de suport a

).

$x + y$

$0$

Es considera la funció $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

b.

Determineu l'equació del pla tangent en qualsevol punt $(a, b)$ que verifiqui la relació $a + b = 1$.

Es considera la funció $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

c.

Analitzeu el caràcter de concavitat o convexitat de $f$ en tot el seu domini.

Es considera la funció $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

d.

Localitzeu els punts estacionaris de la funció.

e.

Raoneu detalladament si $f$ assoleix extrems globals (màxim o mínim absolut).

Pregunta 7 (15 punts). Programació lineal, problema dual i teorema de folgança complementària

Es considera el següent problema lineal de minimització en quatre variables:

$\begin{array}{rl}

\min & 6x + 7y + 10z + 8t \\

\text{s.a.} & -x + z + t \ge 1 \\

& x + y + z \ge 2 \\

& x, y, z, t \ge 0

\end{array}$

a)

Formuleu el problema dual corresponent i resoleu-lo de manera gràfica (vegeu la regió admissible a continuació):

$u^* =$

$v^* =$

b)

Identifiqueu els preus ombra associats a les restriccions del problema primal i el valor mínim de la funció objectiu primal. Fent ús dels preus ombra, estimeu quin seria el nou valor mínim si els termes independents de les restriccions passessin a ser $-x + z + t \ge 0.9$ i $x + y + z \ge 2.05$.

Preu ombra 1 ($u^*$):

Preu ombra 2 ($v^*$):

c)

Emprant les condicions de folgança complementària i la solució del dual, determineu la solució òptima del problema primal.

$x^* =$

$y^* =$

$z^* =$

$t^* =$