Pregunta 2 · Matemàtiques Ii UPF 2013

Pregunta 2 (15 punts). Optimització amb restricció d'igualtat i interpretació del multiplicador

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = x^2 + y^2$.

a.

Determineu els extrems de $f$ sota la restricció $y - x = k$, on $k$ és un paràmetre constant, aplicant el mètode dels multiplicadors de Lagrange. Raoneu el caràcter local o global dels extrems obtinguts.

b.

Representeu les corbes de nivell 1, 2, 3, 4 associades a $f$ conjuntament amb la recta de restricció per al cas particular $k = 2$ (vegeu l'esquema gràfic de recolzament). Deduïu la solució d'aquest cas a partir de la gràfica.

c.

Per al cas general considerat a l'apartat (a), verifiqueu que el multiplicador de Lagrange (preu ombra) satisfà la propietat $\frac{df^*}{dk} = \lambda$, on $f^*(k)$ és el valor òptim de la funció expressat en termes de $k$.