Exercici 8 · Matemàtiques I UPF 2019

a. Trobeu la derivada implícita y' respecte de x.

Solución: y' = (x - 1)/(2 - y)

b. Determineu, en cas que existeixin, els punts de la corba d'ordenada y = 3 en els quals la recta tangent tingui pendent igual a -1.

Solución: 2

b. Coordenada y del punt buscat:

Solución: 3

c. Dibuixeu la corba i la recta tangent trobada a l'apartat anterior.

Solución: Reordenant l'equació de la corba completant quadrats s'obté la circumferència de centre $(1, 2)$ i radi $\sqrt{2}$: $$-(x^2 - 2x + 1) - (y^2 - 4y + 4) + 1 + 4 - 3 = 0 \iff (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$$ La recta tangent al punt $(2, 3)$ amb pendent $m = -1$ té equació: $$y - 3 = -1(x - 2) \iff y = -x + 5$$ El dibuix ha de mostrar la circumferència centrada a $(1, 2)$ amb radi $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ i la recta de tangent decreixent que passa per $(2, 3)$ amb tall a l'eix vertical a $(0, 5)$.